Inscription / Connexion Nouveau Sujet
groupe fini et quatients
Bonsoir,je voudrais résoudre l'exercice suivant:
"Soit G un groupe fini.
1)montrer que si l'ordre de G est égal à 2n,avec n impair,alors G contient un élément t d'ordre 2.
2)montrer que si G admet un élément d'ordre 2, alors il admet un sous groupe distingué d'ordre card(G)/2.
pour la 1)je pense qu'il faut résonner par récurrence mais je ne vois pas comment on pourrait se servir de l'hypothése de récurrence.
Cependant je connais un autre moyen pour résoudre l'exercice d'ailleurs je ne suis pas sur je préfère vous dire ma solution,comme me cela vous pourriez me dire si c'est exacte.
1)card(G)=2n avec n impair donc la plus grande puissance de 2 divisant 2n quelque soit n est 1,donc G admet un 2 sylow d'ordre 2(d'après le 1 er théoréme de Sylow),donc il existe forcément un élément t d'ordre 2 dans G.
cependant je voudrai bien voir comment on peut raisonner par récurrence dans cette question.
2)Je ne vois pas comment procéder,il semble que le groupe en question soit G\<t>
si on suppose que t est l'élément d'ordre 2 de G.
pour montrer que G est distingué je ne vois G\<t>,on peut voit G\<t> comme le noyau d'un homomorphisme.Cependant je ne vois pas quelle est cette application
j'ai essayé d'appliquer la définition basique cependant G\<t> est muni d'une structure de groupe si <t> est distingué, je n'arrive pas à le montrer également
merci de votre aide
Salut!
Il me semble qu'appeler Sylow pour le 1) est un peu compliqué :
On considère la relation "être l'inverse de". Pour cette relation, on a deux types de classes : celles à 1 élément, celles à 2.
Alors card(G)=nombre de classe à 1 élément + 2*(nombre de classe à 2 éléments).
Si card(G) est pair, alors le nombre de classe à 1 élément est aussi pair, et comme il n'est pas nul (le neutre est sa propre inverse) il est au minimum égal à 2. Conclusion, on a bien un élément d'ordre 2.
Pour la 2) l'idée d'exhiber notre sous-groupes distingué en tant que noyau d'un morphisme de groupe n'est pas mauvaise.
Je te suggère de prendre le morphisme de G dans {-1;1} qui à g associe la signature de la translation à gauche par g.
Tu peux montrer que ce morphisme est surjectif non injectif, donc son noyau est un sous-groupe distingué de cardinal |G|/|{-1;1]|=|G|/2
je ne comprend pas comment est définie l'application (qu'est ce que cela veut dire "à g on associe la signature de la translation à gauche par g").
je ne comprend pas,l'application qui à g associe gx n'est pas un morphisme,et l'application qui a g associe sign(gx) n'a de sens que si g et x sont des éléments du groupe des permutations (Sn).
Attention, ce n'est pas g->gx mais x->gx.
Ce n'est pas un morphisme, par contre c'est une permutation de G, et comme n'importe quelle permutation, elle a une signature.
C'est l'application qui à g associe la signature de la permutation x->gx qui est un morphisme.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac