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Groupe libre de rang fini

Posté par
Narhm 03-06-09 à 10:17

Bonjour à tous !
Un dernier exercice sur les groupes abéliens qui m'intrigue...
Le voici :
On considere 3$ B=\begin{pmatrix} \\ 3&1\\ \\ -1&2 \\ \end{pmatrix}

1) Déterminer des matrices P et Q de Gl(2,) tels que PBQ=D, ou D est diagonal de coefficient d1, d2 positifs.
2) Soit M=2 de base canonique (e1,e2) et N le sous groupe engendré par f1=3e1-e2 et f2=e1+2e2.
Le groupe N est-il libre de rang fini ? Si oui quel est son rang ?
3) Determiner une base (e1',e2') de M sur tel que (d1e1',d2e2') soit une base de N sur .
4) Determiner le groupe quotient M/N.


Je trouve que les facteurs invariants de B sont 1 et 7, et 3$ P=\begin{pmatrix} \\ 1&0 \\ \\ -2&1 \\ \end{pmatrix}  et 3$ Q=\begin{pmatrix} \\ 0&-1 \\ \\ 1&3 \\ \end{pmatrix}.
Comme B est la matrice des coordonnées de f1,f2 dans la base de M et que son rang est 2 le sous groupe N est bien un groupe abélien libre de rang 2.
En revanche, j'ai du mal à répondre à la question 3). Je me perds quand il faut passer de M à N.
Quelqu'un aurait-il une aide à m'apporter ?

Merci beaucoup.

Posté par
Camélia Correcteurre : Groupe libre de rang fini 04-06-09 à 15:07

Bonjour Narhm.

Un élément de N s'écrit

af_1+bf_2=B\(a\\ b\)=P^{-1}DQ^{-1}\(a\\ b\)=\(3a+b\\ 6a+2b-7a\)=(3a+b)\(1\\ 2\)-7a\(0\\ 1\)

si on pose e'_1=\(1\\ 2\) et e'_2=\(0\\ 1\) on a bien une base de Z^2 (c'est de determinant 1) et tout élément de N s'écrit bien de manière unique sous la forme xe'_1+7ye'_2.

Calculs à vérifier, mais c'est bien l'idée...

Posté par
Narhmre : Groupe libre de rang fini 08-06-09 à 02:44

Bonjour ( ou plutot Bonsoir !)

Après un petit moment d'absence, me revoici !
Tout d'abord, merci beaucoup pour avoir pris le temps de lire et répondre à mon/mes message/s Camélia !

En fait c'est très simple vu comme ça, effectivement après calcul je trouve bien que la base 3$ e^'_1=\(1\\ 2\) et 3$ e^'_2=\(0\\-1\) est bien une base de 3$ \mathbb{Z}^2 et que 3$ \(e^'_1,7e^'_2\) est aussi une base de N.
Question résolue !

Pour la dernière question, comme M est un groupe libre de rang 2 et N un sous groupe de M de meme rang, le groupe quotient M/N est un groupe abélien ( de torsion ) et 3$ M/N \simeq\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} n'est pas ?

Merci encore

Posté par
Camélia Correcteurre : Groupe libre de rang fini 08-06-09 à 14:17

Oui, c'est bien ça!

Posté par
Narhmre : Groupe libre de rang fini 08-06-09 à 14:34

Merci beaucoup Camélia pour tes infos

Posté par
Camélia Correcteurre : Groupe libre de rang fini 08-06-09 à 14:55


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