Bonsoir
J'ai un doute sur la définition de GLn(Z) : ce n'est tout de même pas l'ensemble des matrices inversibles à coeffcients dans Z ? car dans ce cas là ce n'est pas un groupe multiplicatif : la matrice 2In n'admet pas d'inverse !
Ou alors je me plante complètement sur la définition de GLn(Z) ???

Bonjour,
GL(n,Z) c'est les elements inversibles de M(n,Z), c'est un groupe comme l'ensemble des elements inversibles de n'importe quel anneau.

Donc c'est l'ensemble des matrices à coefficients dans Z, inversibles, et dont l'inverse est aussi à coefficients dans Z
Alors dans ce cas, oui, c'est évident que c'est un groupe

Vi Vi.

Il n'est d'ailleurs pas difficile de prouver que ce sont les matrices de Mn(Z) de determinant plus ou moins 1.

Bonjour à tous,
effectivement, le déterminant des Mn(Z) est bien égal à la norme de 1 (sinon le déterminant de la matrice inverse ne serait pas entier).

Mais concernant la méthode pour montrer qu'il s'agit d'un groupe multiplicatif, quels  sont les différents points (neutre, élément inverse et associatif seulement?)

Merci

Ben c'est vrai dans tout anneau, l'associativité vient de l'associativité de la multiplication dans un anneau, l'existence du neutre vient du fait qu'on a un 1 dans l'anneau et l'existence d'un inverse vient du fait qu'on a gardé précisement ceux qui avaient un symétrique.