Salut,
j'ai pas trop réfléchi mais déjà pour la 3.a) "multiplie à droite et à gauche par b (à gauche de ton égalité ab²a=b^3) puis voit bab.bab en utilisant l'automorphisme...ça doit le faire.

Si G est fini(ce qui me semble être le cas, le fait que ce soit bijectif,vient du fait que c'est injectif.

Bonne soirée!

en fait mieux,pour la bijection explicite directement l'application réciproque...

il faut aussi montrer morphisme de groupe:
trivial.

trivial
c'est du calcul
sauf erreur.

Salut robby

Ah oui je vois pour montrer la bijectivité l'appli réciproque est g^{-1}xg non ?

Sinon pour la 3.a) j'avais aussi le sentiment qu'il faille utiliser l'automorphisme mais je vois toujours pas vraiment, enfin je vois pas comment l'utiliser, l'exposant -1 et le fait que ce ne soit pas commutatif me dérange ..

Je vais continuer de chercher ^^ Sinon pour la 1 c'est juste ?

Euh désolé de t'embêter mais pourquoi on doit montrer ? Ca ne me serait jamais venu à l'idée de faire ça enfait ..

J'ai réussi à montrer la relation b^5=e à l'aide de l'auto ^^ C'était la bonne intuition merci

Je vais voir avec

pour 21:53...
>je me suis emballé,je croyais qu'il fallait montrer que (G,o) était un groupe...
ça te sert à rien pour montrer que "f" est un automorphisme.

J'ai fais le début là ^^

Je met la suite et fin

Re

Ben écoute j'ai fais tout le début la maintenant grace à ton aide

Maintenant, si tu penses que c'est e alors je suis ok avec toi ^^

J'ai dis zéro parce que j'ai l'habitude de travailler dans (IR,+,.) et donc que la solution zéro aurait été dans la place mais avec la suite de l'énoncé on voit que 0 n'est pas élément de G donc apparement c'est bien b=e si ab=ba

bah y'a pas de quoi.
Si t'arrives à faire la suite,ça m'intéresse aussi

(j'y réfléchirais,si j'ai le temps...et c'est pas gagné! )
Bon courage.
A+

lol Ok ca marche ^^ Bon je ne pense pas mais j'ai encore jusqu'à 7h30 demain pour me pencher sur le problème

Tu m'étonnes ! désolé de t'avoir dérangé avec ça mais ça me rend bien service toutes tes réponses

Bonne nuit, et à bientôt

Un petit pour les autres _{( Juste pour signaler que j'ai pas toutes les " réponses " )}

Hello Olive !

Alors t'en es ou dans toute cette histoire ? T'as besoin d'aide pour quelles questions ?

Salut Narhm _{(Au fait c'est quoi ton prénom si ça te déranges pas ? )}

Héhé toujours la pour me sauver on dirait

Ben c'est plutôt la série de questions 5.a)b)c) et 6. qui me pose problème ..

_{(J'ai pas oublié l'autre topic hein ^^ Mais cette semaine je suis vraiment super débordé ..)}

Te sauver, c'est peut-etre un peu beaucoup !
Je vais regarder un peu ton exo. Tu peux juste rappeler tout ce qu'on sait sur a et b et les relations qu'on a entre eux ?

^^

Alors pour le moment on sais que a,b sont des éléménts de G. (Groupe non commutatif dont la loi est notée multiplicativement)
et .
.

A est l'ensemble des puissances de a ={e,a}
B est l'ensemble des puissances de b ={e,b,b^2,b^3,b^4}
A et B sont des sous groupes commutatifs

On a un automorphisme de G dans G donnée par .
Et on a l'appli Phi: (x,y) ---> xy de A croix B dans G qui est injective et son image est un sous-groupe de G

Voilà je crois avoir tout relevé

Euh j'ai oublié, on apprends avant la question 5 que G est formée de e,b,b^2,b^3,b^4,a,ab,ab^2,ab^3,ab^4

(Autant dire qu'on en sait pas beaucoup du tout sur les éléments qui compose G avant la question 5)

Ok !

Alors pour montrer l'existence, je pense que tu peux déjà considérer l'application de G dans A qui a g associe g⁵. Montre que c'est un homomorphisme de groupe et qu'elle est bien surjective.

Par contre ca me semble bien bizarre que tu aies et

Ah oui pas bête !!

Ben si on l'appelle C cette appli alors

Je pense pouvoir utiliser la commutativité puisque C(...) est un élément de A non ? Et A est commutatif.

Oui me suis mélangé les pinceaux désolée  c'est et

Euh non attends, je suis allé un peu vite pour le coup. Mon application n'est pas un morphisme, elle ne respecte pas forcement la structure de groupe.

Ah ok j'arrête d'essayer de prouver que c'est une morphisme alors ^^

Tu es encore là ?

Oui oui !
Rien de neuf ton coté ?

Je ne sais pas si tu as vu mais , tu peux regarder le morphisme

Non rien de neuf, si tu n'as rien toi non plus c'est pas grave je ferais pas la fin du DM.

D'autant plus que j'ai un autre exo à faire cette nuit encore.

Je demandrais à un mec (Qui la fait tout seul .. ) de ma classe de me dire comment il a fait et je vous posterai les pistes demain en rentrant si ça vous interresse ( en tout cas robby avait l'air intérressé ).

C'est vraiment sympa de t'être penché sur la question et je remercie encore robby

Je suis désolé de te lacher alors que tu essayes de m'aider mais la je baisse les bras une fois de plus..

Merci pour tout !!

Je précise mes notations peut être pas très claire :
. G est bien la réunion disjointe de B et aB.


définie alors bien un morphisme de groupe surjectif et d'ailleurs on remarque aussi que ker(f)=B.

Ah p***n mais pourquoi j'y pense pas à ce genre de chose .. C'est vraiment tout simple comme application et c'est claire qu'elle est surjective.
Y a moyen de trouver que c'est un morphisme aussi.

Le fait que ce soit un morphisme découle tout simplement du fait que si x est un élément de aB, alors bx est un élément de aB aussi !

Oui ca je comprends mais parcontre je vois pas en quoi ca nous aide à montrer que c'est un morphisme

Montrons que c'est un morphisme.
Soit g et g' deux éléments de G.
Si g appartient à B et g' appartient à B, alors gg' appartient à B.
Si g appartient à B et g' appartient à aB, alors gg' appartient à aB. (*)
Si g appartient à aB et g' appartient à B, alors gg' appartient à aB.
Si g appartient à aB et g' appartient à aB, alors gg' appartient à B. (**)

(*) et (**) découle de ce que je disais : si b appartient à B, et x à aB, alors bx appartient à aB.

Tu vois ou pas vraiment ?

Ah oui merci

Ils me sortent par les narines ces trucs

^^
Oh non, faut pas dire ca.
Maintenant qu'on sait qu'il en existe au moins un, il reste à montrer que son noyau est necessairement B.

Oui oui je vois mais le problème c'est que je vois seulement après que tu m'aies tout détaillé

Ah euh la partie que j'ai oublié de la question c'est "Est-il unique?"

Je m'arretterais la dans le DM, je suis plus stérile que Vincent Mc Doom là

Oui !

Tu peux le voir en répondant à la suite de la question : B=ker(f).

Soit f un morphisme de groupe de G dans A surjectif quelconque.
Première constatation, si f(b)=e alors B est inclu dans ker(f) puisque B est engendré par les puissances de b.

Montrons donc que f(b)=e: par l'absurde.
Supposons que f(b) ne soit pas égale à l'élément neutre e, alors f(b)=a ( on a pas le choix ).
Mais on sait que , donc car A est commutatif et le carré d'un élément de A est toujours le neutre.
Ainsi on aurait a=e ! Absurde, et f(b)=e.

Bilan : B est inclu dans le noyau de f.

Montrons maintenant l'égalité : B=ker(f).
On sait que le noyau d'un morphisme est toujours un sous groupe du groupe de départ. Ici ker(f) est donc un sous groupe de G.

Par l'absurde :
Supposons que B soit strictement inclu dans ker(f), alors il existe un élément x de aB qui appartient à ker(f). Posons alors x=ab^k.
Malheureusement, comme ker(f) est un groupe et que b y appartient, on devrait avoir que appartient aussi à ker(f).
Seulement    ! Donc a appartient aussi au noyau de f.
Finalement a et b appartiennent à ker(f), donc G est dans le noyau et ker(f)=G.
C'est absurde puisque f est surjective: i.e. il existe un élément x de G qui vérifie f(x)=a !

Donc B est égale à ker(f).

Il vient ainsi que f(g)=e si et seulement g appartient à B. f est donc entièrement déterminée (puisque si f(g) n'est pas e , f(g)=a ! ). Comme cette application convient, on en déduit que c'est la seule !

Pour la question 5)b) :
On a donc le morphisme f définie par :

Regarde ce que ca donne avec l'appliaction     .



Pour la question 5)c) : Notons tout d'abord que B est commutatif et que ba=ab⁴.

Supposons maintenant qu'un tel morphisme f existe.
Alors f est : - surjectif et f(G)=B.
                  - ker(f)=A.
Ainsi, f(b) appartient à B. On a plusieurs choix possibles, f(b)=b,b²,b³,b⁴ ou e.

Si f(b)=b, alors : absurde.
De meme , f(b)=b²,b³ ou b⁴ ne peut pas marcher.
Si f(b)=e, alors b appartient au noyau de f, c'est guère possible aussi !

Bilan : il n'existe pas de tel morphisme.

Sauf erreurs bien sur, vu l'heure il est possible que j'ai dit des bêtises, surtout sur la dernière question. Ca me parait étrange que cette application n'existe pas. Je te laisse vérifier tout ca : )

Bonne nuit

O yé tu t'es couché si tard à cause de moi ?! Je suis désolé, je me suis endormis devant l'ordi !!

infiniment !! Je vais regarder ça en détail

Franchement à la lecture je comprends tout ce que tu fais !
C'est pas aussi méchant que je le pensais même si il faut avoir les idées quoi..., je vais m'entrainer sur des exos pas trop dur pour apprendre à manipuler ces notions et peut-être que un jour je saurais faire un exo de ce type sans ton aide ^^

Merci d'avoir pris tout ce temps pour m'aider !