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groupe nilpotentcé
Bonsoir,
J'ai un petit souci sur l'énoncé suivant:
Montrer que les propositions suivantes sont \'equivalentes:
(1) G est nilpotent;
(2) il existe p sous-groupes distingués de G, tels que:
et pour tout ,
est contenu dans le centre de
.
En fait, j'arrive à montrer le sens direct mais pas la réciproque.
Merci de votre aide!
parce que plus je réfléchis plus je m'embrouille!Je note (Cn) la suite centrale de G
Je tente de montrer par récurrence pour tout 0
np, Cp
Hp, mais en vain.
Est ce que quelqu'un pourrait m'indiquer si je fais fausse route ou sinon me debloquer dans ma demonstration???
Merci d'avance!
Salut,
par récurrence, on suppose Cn inclus dans Hn, montrons que Cn+1 est inclus dans Hn+1.
Cn+1=[G,Cn], prenons un commutateur xyx^-1y^-1 avec y dans Cn qui est dans Hn.
On sait que Hn/Hn+1 est contenu dans le centre de G/Hn+1, donc si tu veux montrer que xyx^-1y^-1 est dans Hn+1 il te suffit de montrer que la projection de xyx^-1y^-1 dans G/Hn+1 est le neutre. Or la projection de y et y^-1 est dans Hn/Hn+1 donc tu peux commuter.
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