Bonsoir,
Je comprends pas tes notations? C"est quoi Zn

bonsoir

question incompréhensible !
c'est quoi n ?

MM

Bonsoir, désolée Z_n

Desolé.... mais c'est pas plus clair... quelle est ta définition de Zn?

inconnu au bataillon !

tu as une définition de ce que tu notes _n ?

j'ai bien peur que ce soit juste une notation raccourcie de /n et qu'il n'y ait rien à comprendre car ce n'est qu'une notation personnelle

_{(bonsoir Rodrigo)}

Z_n = {[a]/aZ}

cela n'a aucun sens !, n n'intervient pas dans ta définition... alors que fait le "n" en indice !!!!???

En fait on dit que pour n>1 on a Z/nZ = Z_n qui est d'ordre n

_{Bonsoir alain}

Oui ben je pense aussi que c'est juste une notation.

Bonjour à tous...

dans ma scolarité, il arrivait de noter

le groupe

c'était une simple notation, groupe des congruences modulo n pour Zn
et groupe quotient pour Z/nz

il y a identification.....

s'il y a une différence c'est certainement que les éléments de Zn sont des nombres (éléments de Z)
et les éléments de Z/nz sont des classes d'équivalence..

ah... en fait _n={0;1;2;...;n-1} ?

oui, je crois bien que c'est ça....

je n'y avais jamais pensé avant ce jour.....

ok, merci, en fait je reprends ceci d'une démo, autre petite question:
d'aprés le premier théorème d'isomorphisme:
Z/nZ isomorphe à G
Si n=0 on a G isomorphe à Z/{0}
Je comprends pas pourquoi on a le singleton {0}
si n=0: nZ = 0*Z = 0 et comme c'est un sous groupe de Z, on mets {0} c'est pour ça ?

C'est extrêmement malsain et ca peut vraiment induire en erreur de penser a Z/nZ comme {0,1,..,n-1}... c'est vraiment pas ca Z/nZ

Merci esta-fette ok donc c'est qu'une simple notation merci à vous tous

ben alors y-a qu'à le dire !

c'est toujours embêtant de travaille avec des trucs non définis !

enfin bon, il n'y a pas de quoi fouetter un chat ! c'est l'identification naturelle où on prend pour chaque classe sa "représentation principale" : le seul éléments entre 0 et n-1

MM

oui Rodrigo c'est plutot: Z_n={[0],[1],.....[n-1]}

à Rodrigo.

bon ben alors c'est carrément une notation de /n et  pis c'est tout !

donc il n'y a rien à comprendre...

on décide de noter _n=/n parce que c'est vraiment long de le noter en entier...
(on a économisé un "" et une "/"... et on a perdu 20 minutes à parler de ça !)

1/. Pourquoi lorsque n=1, Z/Z={Z} qui est d'ordre 1 ?
2/. Ceci veut dire que Z n'a qu'un élément ?

(non esta-fette, je suis d'accord avec Rodrigo que cela est dangereux d'identifier avec les n premiers entiers car eux ne sont munis d'aucune structure !)

Shelsy : {Z} n'a qu'un élément !

mais Z en a une infinité !

Ben... ca pose des problèmes au niveau de la distinction des propriétés qui passent au quotient ou pas...
Justement le 2 de Z/7Z, c'est tout autant 9 que 2...
Pour Z/nZ ca peut poser des problemes deja (notemment les verification de bonne défnition des opérations qui ne dépendent pas du representant choisi etc...), certes minimes, mais c'est surtout catastrophiques pour les groupes quotients en general

ordre d'un groupe:
Si l'ordre de G est n, alors card(G)=n, c'est à dire qu'il a n éléments ? non ?

Shelzy : je crois que tu n'a pas compris ce qu'est /n

par exemple /2 = { {entiers relatifs pairs} ; {entiers relatifs impairs} }

ses deux constituants étant appelés respectivement "classe de 0" et "classe de 1"

/2 n'a que deux éléments

chacun de ses deux éléments est en fait un ensemble de gens en relations... chacun contenant une infinité d'élements !

L'exemple que j'ai en tete est pour les groupes non abéliens donc je ne peux pas en faire l'analogue sur Z/nZ, mais examinons le raisonnement suivant.
SOit G un groupe non abélien et H un sous groupe de G, non distingué.
Alors on considère G/H le quotient ensembliste, alors on prend une section ensembliste notée s, de H dans G/H... Puis on définit l'addition de la façon suivante p(s(a)+s(a)) (ou p est la projection canonique).
Alors on a l'impression que G/H est muni d'un structure de groupe... bref le raisonnement est tordu (mais il s'avère qu'il pose vraiment des problemes)

Mais est ce que ceci est vrai ?
Si card(G)=n on dit que G est un groupe d'ordre n, est ce que ceci signifie que G possède n éléments ?

Oui si G est d'ordre n cela signifie qu'ils possèdent exactement n elements.

Toute ma vie, j'ai travaillé avec des triangles:

tantôt c'est un ensemble de 3 points, tantôt un ensemble de 3 segments tantôt une surface.....

jamais, cela ne m'a gêné......

comme il n'est pas gênant d'assimiler 2 ensembles totalement différents:


le 7 de N est la classe des ensembles finis de cardinal 7....(même pas une classe d'équivalence car l'ensemble de tous les ensemble n'a pas de sens)

et on s'amuse parfois à calculer la racine carrée de ce monstre....
ou alors de faire des trucs encore plus tordus avec....
alors si on me dit que 7 = {......-2,7;16;.......} dans Z/9Z, cela ne me gène pas, à condition de savoir de quoi l'on parle.

Dernière question je pense avoir compris:
d'après une proposition:
Soit (G,.) un groupe et aG d'ordre n, alors on a:
1. Si mZ vérifie a^m=e, alors n divise m
2. <a> = {e,a,a²,...,a^n-1} et <a> est d'ordre n

Donc a possède n éléments, c'est une "sorte" de sous groupe. Mais G lui possède une infinité d'élément on ne sait pas !!
C'est ça ?

C'est assez différent... on parle de définitions un peu "variables"... Effectivement qques fois il ya  de bonnes identification qques fois c'est vraiment néfaste... Vraiment penser a Z/NZ comme {0,1,..,N} c'est dangereux...que'est ce que tu pense du raisonnement suivant.
L'anneau Z/NZ est factoriel.
En effet Z/NZ={1,...,N}, c'est un sous ensemble de Z, donc tout element adment une unique décomposition en nombres premiers... et donc Z/NZ est factoriel...

Ce qui est bien sur faux dans Z/7Z=3²=2

a est un élément.....

<a> est un ensemble d'éléments.....
<a> est un groupe pour la multiplication......il possède n éléments......
<a> est un sous groupe de G.

on a
et

à Rodrigo,

effectivement, on a tellement pris l'habitude de certaines notions, qu'il faut adapter le système, plutôt que préciser les notions....
Mais celui qui fait ce genre de raisonement n'a rien compris des anneaux factoriels.....

car il existe bien un anneau dont les éléments sont {0;1;2;3;4;5;6} muni de 2 lois de composition internes notées (abusivement) + et x.....
et cet anneau n'est pas factoriel. même si le support de l'anneau est un sous-ensemble de N

Ok merci à vous tous, passé une bonne fin de soirée

"passez"...

ce fut un plaisir

bonne soirée

mm

Bonjour

... après la bataille! C'est possible que ce soit juste une notation. Mais j'ai vu aussi dans des livres , ou, après recherches désignait le (un?) groupe cyclique d'ordre n. Inutile de dire que je désaprouve... ce n'est pas égal mais isomorphe, et en plus, pour tout arranger, en général ledit était présenté multiplicatif!