Bonjour,

Ce n'est pas une question aussi simple qu'elle y paraît... L'idée est de partir de la décomposition en cycle de tes éléments (en effet l'ordre d'un élément ne dépend que de sa classe de conjugaison).

Commence par voir le lien entre décomposition en cycles et ordre.
Ensuite, énumère toutes les décompositions en cycles possibles pour et fait les calculs correspondants.

Bonsoir,

dans S8 l'ordre maximal d'un élément est 15.

En effet, quand on décompose une permutation en produit de cycles à supports disjoints, l'ordre est égal au ppcm des ordres des cycles de la décomposition.

Il suffit donc de regarder le nombre et la longueur de tous les cycles à supports disjoints possibles qui peuvent intervenir dans la décomposition d'un élément de S8, et de calculer le ppcm des ordres des cycles pour chaque décomposition.

On s'aperçoit vite que le ppcm maximal est atteint pour un produit d'un 3-cycle et d'un 5-cycle à supports disjoints.
Le ppcm de leurs ordres est bien 15.

Comme ce produit est aussi un élément de A8, le résultat reste vrai a fortiori pour A8.Sauf erreur bien sûr.

Bonsoir

C'est rien... tu sais pas si on sait explicitement maximiser ce ppcm sur les partitions ? ou trouver une borne inférieure convaincante ? (je me demandais il y a pas si longtemps)

Je me suis posé la même question en répondant à ce topic, mais je ne vois pas de méthode générale a priori.
Tu confirmes le résultat que j'ai donné?

Oui, oui. Je trouve pareil.

OK. Sinon, plus généralement je me suis demandé si dans Sn, l'ordre maximal d'un élément ne serait pas égal (intuitivement) au produit

p1.p2...pk ,

où les p_i sont tous les entiers inférieurs à n, premiers avec n et deux à deux premiers entre eux, pris "le plus au centre possible" (pour maximiser leur produit) par rapport à n, et tels que leur somme reste inférieure à n.

Ainsi pour n = 60, on prendrait 29 et 31 au centre, et on s'arrêterait là puisque 29 + 31 =60.

Cela ne marche pas puisque 29.31 = 899, alors que 3.5.7.11.13.17 est bien supérieur à 899.

Finalement il faut peut-être partir du "bas" afin d'augmenter le plus possible le nombre de facteurs?

D'ailleurs, on peut encore ajouter un 2-cycle à la liste précédente puisque la somme des nombres premiers écrits à la fin de mon post précédent ne valait que 56.

Mais du coup la question de savoir par quel nombre premier commencer se pose, puisque dans ce cas précis il fallait commencer par 2, alors que dans l'exemple de S8 il fallait commencer par 3...compliqué ce truc, décidément...

merci beaucoup pour vos réponses cela m'a bien aidé.
bonne soirée

Avec plaisir pour ce qui me concerne