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Groupe (Z/nZ)* cyclique ssi...
Bonjour,
dans un exercice, on nous a donné une indication pour résoudre une question : "le groupe (Z/nZ)* est cyclique ssi n=2, 4, p^k ou 2p^k, avec p premier impair et k un entier non nul".
D'où vient ce résultat qui m'a pas l'air si simple à montrer ?
Merci de votre aide 
Salut
C'est une histoire de lemme chinois...
On commence par un lemme:
Si H=H1*...*Hn est cyclique ssi les Hi sont cycliques et leurs cardinaux forment une famille d'entiers deux à deux premiers entre eux.
On prend un entier n tel que (Z/nZ)* est cyclique. On écrit sa décomposition en produit de facteurs premiers et paf, lemme chinois.
Avec le lemme, ça donne déjà l'un des sens si je ne m'abuse...
L'autre faut vérifier à la main en gros...^^
Salut !
il faut aussi connaitre les résultats suivant :
si p est impaire,
(Z/p^kZ)* est cyclique
si p=2 on a:
(Z/2Z)*={1}
(Z/4Z)*=(Z/2Z)
(Z/2^kZ)*=(Z/2Z)*(Z/2Z)^(k-2) si k>2
ces résultat sont la partie difficile de l'énoncé dont tu parle... (il faut déja savoir prouvé que Z/pZ* est cyclique, puis faire une récurence un peu astucieuse pour trouver l'ordre de p+1 modulo p^k et de 5 modulo 2^k... )
une fois qu'on sais cela on utilise le lemme chinois et le lemme dont parle 1 Schumi 1 permettent de conclure....
Bonjour
Tu as raison, ce n'est pas évident! (Je suppose que est l'ensemble des inversibles de Z/nZ.
Pour commencer, il faut savoir que si la décomposition en facteurs premiers de n est on a (Z/nZ)^*=
(ça c'est une conséquence immédiate du lemme chinois, pour les anneaux)
Déjà, s'il y a deux premiers impairs différents, on trouve dans le produit des groupes d'ordre pair différent, donc le produit n'est pas cyclique.
Donc (p impair premier) ou
ou
C'est assez facile de montrer que c'est cyclique dans premier cas, puis pour 2,4 et
En revanche c'est du boulot pour et
pour m > 2.
euh... pour 2^m, 2^mp^k il ne sont pas cyclique et c'est facile :
(Z/8Z)* est un quotient de ces groupes et il n'est pas cyclique. (il est isomorphe au groupe de klein ).
Merci a tous les deux !
Déjà, s'il y a deux premiers impairs différents, on trouve dans le produit des groupes d'ordre pair différent, donc le produit n'est pas cyclique.
J'avais compris jusqu'au lemme Chinois avec les explications de Schumi, mais je ne voyais pas ce qui empêchait n d'avoir plusieurs nombres premiers impairs dans sa décomposition...et je n'ai toujours pas compris ! Comment trouve t-on ces groupes pairs dans le produit ?
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