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Groupes
Bonjour !
Je travail sur une fiche d'exercice sur les groupes.
J'aurais besoin de quelques confirmations ou explications pour cet exercice :
Soient G=GL(n,K)et Mn(K).Le groupe G agit sur X par automorphisme intérieur, Si P 
G et M X : P.M=PMP[sup][/sup]-1
Que sont les orbites ? Les décrire dans le cas n=2 et K=Z/2Z.
Déjà GL(n,K) c'est le groupe des matrices nxn inversibles à coefficients dans K et Mn(K) ce sont les matrices carrées.
Pour moi les orbitres sont l'ensemble des matrices semblables.
On me demande d'examiner le cas n=2 et K =Z/2Z.
Pour G = GL(n,K) les orbites sont alors l'ensemble des matrices carrées semblable ayant pour coefficients 0 et 1.
Et pour G= Mn(K) c'est l'ensemble des matrices carrés semblable à coefficients appartenant à l'ensemble{0,1}
Je vous remercie soit pour votre confirmation soit pour vos explications.
Elodie
Bonjour
Oui, bien sûr, chaque orbite est formée de matrices semblables entre elles.
Dans le cas particulier n=2 et K=Z/2Z, il y en a si peu, que tu peux les écrire toutes et regarder explicitement ce qu'il y a dans chaque classe!
Mais si, elle marche! (enfin, elle est inversible, je ne sais pas où tu veux qu'elle aille!) Mais -Id=Id!
Quel P? Quel M? En général, tu prends une matrice M fixée; son orbite est formée de toutes les PMP-1 où P décrit GL
Dans l'énoncé de l'exercice on dit que G agit sur X si P appartient à G et M appartient à X P.M=PMP^-1
Pour moi P c'est une matrice 2x2 qui appartient à Gl(n,Z/2Z)et M une matrice quelconque puisque qu'elle appartient à un ensemble X.
Je dois surement avoir omis un détail important si ce n'est pas ça
Oui, c'est bien ça. Mais je ne comprends pas en quoi une matrice peut ne pas marcher! Toute matrice a une orbite, il s'agit de mettre ensemble celles qui sont dans la même orbite!
Quand je prends P=
(1 1)
(1 0)
qui appartient à GL(2,Z/2Z) et M=
(1 2)
(3 4)
une matrice quelconque, l'égalité P.M=PMP^-1 n'est pas vérifiée
P.M n'est pas le produit de P et M! c'est par définition que P.M=PMP-1. Ta M n'est pas à coefficients dans Z/2Z!
Bonjour
Alors voilà une description complète des classes de conjugaison, mais vraiment essaye de comprendre!
a 16 éléments. D'abord les 6 inversibles:
Id dont la classe est {Id} (comme toujours)
les trois d'ordre 2 qui forment une classe: ,
et
les deux d'ordre 3 qui forment une classe: et
Ensuite les 10 non inversibles:
La matrice nulle Z dont la classe est {Z} (comme toujours)
Les 6 matrices de trace 1 qui forment une classe: ,
,
,
,
et
Les 3 matrices non nulles de trace 0 qui forment bien une classe: ,
et
J'ai insisté sur des invariants dans des classes comme la trace ou l'ordre; ce sont des conditions nécessaires mais non suffisantes. J'ai vraiment vérifié que les matrices de chaque classe sont bien conjuguées.
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