Bonjour

Supposons que aHbH soit non vide et soit x aHbH.

Il existe y et z dans H tels que x = ay = bz.

Donc a = bzy^-1

Tout élément at de aH peut s'écrire bzy^-1t, et appartient donc à bH.
De même tout élément de bH appartient à aH; par suite aH = bH.

Par conséquent, si aH et bH ne sont pas disjoints, ils sont confondus.

Cordialement
Frenicle

C'est très clair et bien expliqué
Je vous remercie de votre aide :)

de rien

Bonjour!
Une autre question de ce meme exercice est : si |G|=pq (déja je ne connais pas cette notation..;est ce que c'est le cardinal??) avec q premier et p<q, établir que G a au plus un sous groupe de cardinal q.

J'ai essayé une démarche par l'absurde et je n'ai fait que m'embrouiller On suppose que G a au moins deux sous groupe de cardinal q. Mais si un groupe a un cardinal premier, et qu'on prend a élément de ce groupe, l'ordre de a doit diviser le cardinal de ce groupe et donc, le cardinal étant premier, le groupe engendré par a serait le groupe en entier...Mais alors tout élément de ce groupe l'engendrerait??

Je vous remercie d'avance de votre aide

Bonjour,
montre que si il y a deux sous groupes d'ordre q distincts, necessairement cycliques, alors G continent un sous groupe isomorphe au produit semi direct Z/q xZ/q (qui doit meme etre direct), donc un groupe de cardinal q².

Bonjour
Nous n'avons pas vu ce qu'est un produit semi direct ni un ensemble du nom de Z/q (je suis  en spé).
(les groupes de cardinal q sont bien cycliques n'est ce pas? )

Tu n'a pas vu ce qu'est Z/qZ (on le note aussi Z/q) ou les groupes d'ordre premier sont cycliques.
Bref ici le seul point qui compte c'est de remarque que nécessairement si tu appelles H et N tes deux groupes alors H inter N est trivial

Bah je n'y arrive vraiment pas; est ce que tu pourrais me donner le début de la construction de l'isomorphisme qui nous interesse?

quelqun pourrait m'aider? S'il vous plait....