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Groupes
Bonsoir à tous!
J'aurais besoin d'un peu d'aide pour un exercice sur les groupes, s'il vous plait 
a)Soit a élément d'un groupe G et b élément d'un groupe H. Montrer ue si a est d'ordre p et b d'ordre q alors (a,b) est d'ordre PPCM(p,q) dans GxH -> ça c'est fait
b)Montrer que si G et H sont cycliques et de cardinaux premiers entr eux alors GxH est cyclique -> bah la je tourne en rond
c) Montrer que si GxH est cyclique alors G et H sont cycliques et de cardinaux premiers entre eux->la aussi çan'avance pas
Je vous remercie pour vos future pistes!
Piste:
soit g et h les cardinaux de G et H.
G est isomorphe à Z/gZ, même chose pour H.
décompose g en facteurs premier (g=g1 x g2 x g3...) même chose pour h.
construit un isomorphisme A: g -> {g1, g2, ...} (même chose pour l'isomorphisme B: h -> {h1, h2..
..
Bonjour Merci d'avoir répondu
Tu pourrais etre plus clair s'il te plait? Je ne vois absolument pas la structure du raisonnement...
Et puis tu construis deux isomorphismes.. Quel est leur ensemble de départ? d'arrivée? qu'elle est leur expression? Parce que que là à g tu associes se décomposition en facteurs prmiers... ce n'est pas une fonction, g n'est pas quelconque
considère plutot ce raisonnement
G est isomorphe à Z/gZ
H est isomorphe à Z/hZ
on considère le morphisme suivant
f: Z/ghZ -> Z/gZ x Z/ hZ
a mod(gh)-> a mod(g) x a mod (h)
Comme card( Z/ghZ ) = card (Z/gZ x Z/ hZ), si f est injective, alors f est un isomorphisme.
soient a et b
a=b mod(g) => a-b est divisible par g
a=b mod(h) => a-b est divisible par h
donc a-b est divible par pgcd (g,h) = gh
donc a=b mod(gh)
nous avons construit un isomorphisme de Z/ghZ -> Z/gZ x Z/ hZ..
a toi de conclure.
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