Bonjour,
Montrer que ton groupe est abélien. Puis qu'il est isomorphe a un produit de Z/2Z

est ce que Z/2Z={0,1}??

Heu, oui et non...
Disons que Z/2Z c'est l'ensemble des classe modulo 2, effectivement deux representants sont {0,1}

bah, s'il faut employer les signes...


Où la relation d'équivalence ~ est définie de la sorte :
a ~ b ssi

j'ai démontré que G est un groupe abélien mais je sais toujours pas comment montré qu il est isomorphe à un produit de Z/2Z? et je sais pas en quoi ça va me ramener au fait que card(G) est une puissance de 2... :S

Merci bcp

je dois filer pour l instant mais j espère que vous pourriez m aider parce que c est un devoir que je dois rendre le samedi ...


Merci d 'avance...

Considère a tu sais que a²=1, prend b qui n'est ni a ni 1, alors tu as un isomorphisme Z/2ZxZ/2Z-><a,b>
donné par (1,0)=a et (0,1)=b
Il ne te reste qu'a geenraliser.

bonsoir!!

donc est ce que l'isomorphisme signifie que card(G) est une puissance de 2??

Bonsoir!!

j'espère obtenir des réponses plus claires sur ce sujet car celles d'avant je n'ai su les interprété et je dois le rendre demain matin :S

soit (G,.) un groupe fini tel que :
xG; x²=e
montrer que card(G) est une puissance de 2.

Merci et bon courage à tous!!

*** message déplacé ***

Bonjour,

  C'est un multipost

Pour comprendre pourquoi le multipost est interdit ici, il faut lire :

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- le message qui est en tête de toutes les liste des messages et qui a pour titre ""A LIRE AVANT de poster, merci"" ici :   Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci

et puis tu as accepté une charte non ?

La prochaine fois tu t'y prendras plus tôt pour poster ta question !

*** message déplacé ***

Bonsoir delacour!
Si les deux groupes sont isomorphes alors ils ont même cardinal.
Et Card(Z/2Z) = 2 ...

eeeeeeuh désolée j'ai déjà lu mais j avais pas très bien compris ce que Multi post voulait dire...si vous voulez bien me dire d'où est ce que je peux effacé ce message?!

*** message déplacé ***

Merciiiii ça va me servir à très grand chose!!

Tu ne peux pas !

*** message déplacé ***

:S ça c'est un problème

*** message déplacé ***

mais comment démontrer que f(x.y)=f(x)~f(y)??

autrement dit comment montrer l'isomorphisme??


je suis vraiment bloquée et j'ai besoin d'aide sur ce point sinon je vais avoir un zéro ...

lool! Mais t'es en sup, ça va te faire du bien ... ^^
Non je rigole, bon alors c'est vrai que moi non plus je ne vois pas très bien comment développer l'idée du morphisme, et je me suis posé la question, sans réponse ...

Alors je te propose une autre preuve, qui va utiliser les quotients de groupes cette fois alors je me demande si tu t'y connais la dedans, tu me diras, voilà comment faire :

Tu prends un élément a dans G, a différent de e, et on considère le sous-groupe engendré par a : <a> , il a deux éléments, e et a.
Maintenant quotientons G par <a>, et on appelle cet ensemble G/<a>, c'est l'ensemble des classes d'équivalences modulo a, une classe d'équivalence se note x<a>, et on vérifie que G/<a> a la même propriété  (*)  que G :

pour tout X de G/<a>, X^2= x^2<a> = <a> qui est bien le neutre de G/<a>

Ensuite on va faire une preuve par récurrence pour montrer que Card(G) est une puissance de 2 :

L'hypothèse de récurrence est la suivante : un groupe G vérifiant (*) tel que Card(G) 2ⁿ a pour cardinal une puissance de 2 .

Initialisation : G={e}, Card(G) = 1 = 2⁰ 2⁰ ; OK

Supposons l'hypothèse de récurrence vraie au rang n fixé. On prend alors un groupe G vérifiant  (*) , et tel que Card(G) 2ⁿ⁺¹

Si G={e}, pas de soucis,
sinon il existe a dans G\{e}
Regardons G/<a> : il vérifie (*) (on l'a démontré plus haut) et Card(G/<a> ) = Card(G)/2 2ⁿ
(car Card(G) fini)

Donc on peut lui appliquer l'hypothèse de récurrence, ainsi Card(G/<a> ) est une puissance de 2, disons 2^k = Card(G/<a> ) = Card(G)/2

d'où Card(G) = 2^k+1

Et donc par récurrence, c'est vrai pour tout groupe G de Cardinal fini vérifiant (*) !

-sauf erreur- ...

il se trouve qu'on est encore en plein milieu de la leçon et qu'on a pas encore étudié les quotients de groupes..je me demande si je dois les utiliser ou non??

Arf... bin si tu comprends l'utilisation des groupes quotients dans cette preuve (utilisation pas très poussé non plus..) bin tu peux reprendre cette preuve, dans le cas contraire ... heu je dois avouer que j'ai pas mieux ...

En fait dans cette preuve tu as juste besoin de savoir que Card(G/<a>)=Card(G)/Card(<a>) car G est fini, et de savoir qu'est-ce que c'est qu'un élément de G/<a> ...
Là c'est plus abstrait, G est abélien, donc pas besoin de se soucier des classes à droite ou des classes à gauche ... et comme on est dans une notation multiplicative la classe de x est
X = x<a>
c'est l'ensemble de tous les y de G qui s'écrivent x*(un élément de <a>), i.e. {x,xa}
voili voilou...