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groupes
Bonjour,
voici mon problème :
"Soit G un groupe abélien d'ordre np où p est premier. Montrer qu'il existe un élément d'ordre p"
c'est un cas particulier du théorème de Cauchy... il ne faut donc pas se servir de ce théorème... il faut le montrer "à la main"... A part s'inspirer de la démo du théorème de Cauchy quelqu'un aurait une solution peut être "plus élémentaire" ?? merci.
Salut,
j'aurais envie de le faire par récurrence.
Pour n=1, y'a pas grand chose à montrer.
Pour passer de n à n+1, considère un groupe d'ordre (n+1)p.
1er cas : existe un élément x autre que le neutre d'ordre mp où m<n+1. Alors considère le groupe <x>, et avec l'hypothèse de récurrence tu conclus.
2e cas : il existe pas de tels éléments. Alors les éléments de ton groupe sont d'ordre 1 ou (n+1)p. Donc ton groupe est cyclique. Et c'est un théorème élémentaire qui dit que dans ton groupe cyclique d'ordre n, si d divise n, alors il existe un élément d'ordre d dans le groupe.
Salut,
en gros ce qu'on te demande c'est le théorème de Cauchy pour les groupes abéliens.
Tu peux le faire par récurrence sur l'ordre du groupe, tu supposes que c'est vrai pour tous les sous-groupes stricts de G.
Soit G n'a pas de sous-groupe strict et est donc cyclique alors tu conclues facilement, soit G a un sous-groupe strict H. Alors la soit p divise l'ordre de H et tu appliques l'hypothèse de récurrence pour trouver ton élément, sinon travaille dans le quotient G/H.
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