salut

cyclique ==> comutatif ...

groupe commutatif d'ordre pq avec p et q premiers ....

Heu, je ne suppose pas que n et m soient premiers entre eux.

je n'ai pas dit que c'était les solutions .... mais des solutions ce me semble-t-il ......

Oui, ok, mais j'aimerai bien trouver tous les tels groupes.
Deja pour p et q premiers la reponse n'est pas claire.
Si p=2 par exemple, il y a deux groupes d'ordre 2q, le groupe diédral et le cyclique.

En fait le cas p et q premier n'est pas si mysterieux, il est facile de montrer qu'un groupe d'ordre pq est soit cyclique, soit le produit semi direct Z/pZ par Z/qZ ou 1 agit comme un automorphisme d'ordre p dans Z/qZ (cela impose que q-1 soit divisible par p).
Donc il y a exactement 2 extensions de Z/pZ par Z/qZ.

et alors le groupe diédral et le groupe cyclique d'ordre 4 ne sont-ils pas solution ....

d'ailleurs D₂ est le seul groupe diédral commutatif ....

Ben si, je l'ai dit des mon premier message, que pour n=m=2, il y avait deux extensions.
Apres je suis d'accord on a traité les cas n=p, m=q, le cas des petits groupes est simple a voir aussi, par exemple m=2,n=2 ou m=4, n=2 (en fait finalement les cas où on connait tous les groupes d'ordre nm sont simples a traiter).
Mais je n'arrive toujours pas a rendre compte du cas general.
Pour les extensions abéliennes ca n'est pas tres difficile non plus, puisqu'elles sont classifiées par le Ext^1(Z/mZ,Z/nZ), qui vaut Z/(m,n). Il y en a donc (m,n).
Pour le cas general, je ne sais pas.

En fait plus je reflechis a ce probleme, plus je me dis qu'effectivement c'est difficile et je doute avoir le fin mot de l'histoire.
En
Plus je me rend compte que j'ai ecrit une betise plus haut pour le cas Z/p et Z/q. Il n'y a pas 2 classes dans le cas q=1 mod p. Mais il y en autant que d'element d'ordre p dans Z/q-1. C'est a dire p-1.
Donc il y a exactement p extensions ds ce cas la (ou q=1 mod p).
Il n'y en a que l'extension triviale ds le cas ou q n'est pas congru a 1 mod p

Bonjour

C'est un problème classique d'extension... (un peu loin de moi, dans le temps, et dans l'espace je ne suis pas près de ma bibliothèque)) Le fait que le quotient soit cyclique n'entraine-t-il pas l'existence d'une section? Si oui, c'est un produit semi-direct, et il peut y avoir des extensions non isomorphes... As-tu regardé le bouquin de D.Perrin, qui regorge d'exemples?

Bonjour,
Je ne crois pas que le probleme soit resolu dans les bouquins que j'ai. Mais je n'ai pas le bouquin de Perrin.
Effectivement le fait que le quotient soit cyclique entraine dans beaucoup de cas l'existence d'une section. Par exemple si (n,m)=1 et m est premier alors oui ca marche. Je ne sais pas trop dans le cas general.
Rien que prouver que c'est un produit semi direct me satisferait.
Qu'il y ait des extensions non isomorphes c'est certain.
Rien que dans le cas des extensions abeliennes, il y a (m,n) extensions a isom pres.

J'essayerai de réfléchir... La seule idée qui me vient est qu'il me semble qu'il y a des généralisations du groupe des quternions. On a toujours le sous-groupe distingué {1,-1} mais au lieu de se limiter à i,j,k on prend des racines _èmes de 1... (je crois me souvenir qu'on peut s'arranger avec des matrices) Si je ne dis pas n'importe quoi, on aurait un exemple ou ce n'est pas semi-direct!

Bon en fait, j'ai cédé et je me suis un peu renseigné, et en fait ces groupes sont connus, on les nomme metacycliques et ils sont globalement connus (ils ont ete classifiés en 2000).
Ce sont effectivement tous des produit semi directs et on peut en donner en donner une presentation à 2 generateur et 3 relations (bon deux generateurs on s'en serait douté).

Merci de nous tenir au courant... C'est frappant que le problème n'ai été résolu qu'en 2000... comme quoi il n'était pas si évident que ça!