Bonjour, j'ai un exercice d'algèbre sur lequel je rame un peu. merci pour l'aide.

1-) montrer que /4 et (/2)² sont les seuls groupes à 4éléments , à isomorphisme près.

2-) montrer que /6 est le seul groupe commutatif à 6 éléments, à isomorphisme près.

3-)Décrire tous les groupes commutatifs de cardinal 12, à isomorphisme près.

4-)Décrire tous les groupes commutatifs de cardinal 108, à isomorphisme près.

5-)Donner la longueur des -modules décrits dans les questions précédentes.

6-)Donner la liste des -modules de longueur 3 et de cardinal 26.

7-)Décrire tous les [X]-modules M de longueur 4 tels que X(X-1)M=0.


ce que j'ai fait:

1-) /4 est évidemment un groupe commutatif de cardinal .
    je construis une suite de Jordan-Holder de /4 et je trouve que l'unique suite est G₀={0}, G₁=/2 et G₂=/4
je déduis que (G₂/G₁)*(G₁/G₀) est l'unique groupe à 4 éléments, mis à part /4.

2-) je raisonne comme dans la première question. je trouve 2suites de Jordan-Holder.
G₀={0}, G₁=/2 et G₂=/6
G₀={0}, G₁=/3 et G₂=/6

(G₂/G₁)*(G₁/G₀) est un groupe commutatif, sauf qu'il contient 4 éléments. et je déduis que /6 est l'unique groupe commutatif à 6 éléments.
(0,0) 0
(0,1) 1
(0,2) 2
(1,0) 1
(1,1) 2
(1,2) 3


mais je ne suis pas sûre de mon raisonnement pour cette question. si vous trouvez à redire, merci des remarques.


pour la suite, je ne vois pas très bien comment faire.