Bonjour

Les éléments de Q/Z sont tous d'ordre fini.

Dans S₄ il y a 9 éléments d'ordre 2 et dans D₁₂ il y a au moins 12 éléments d'ordre 2.

moi, j'ai un problème pour montrer que C₂*C₂*C₆ et D₁₂ ne sont pas isomorphes ainsi que R* et C*( gpes multiplicatifs)
Merci d'avance
PS: dans la réponse de Camélia, je ne comprends pas le "au moins" 12 éléments d'ordre 2.

Salut sweety, on est dans la même fac ou quoi ? J'ai les mêmes questions dans mon exo ^^
Ben moi pour C2*C2*C6 et D12, j'ai dit que dans C2*C2*C6 il n'y avait pas d'élément d'ordre 12, mais en fait je suis pas sûre du tout de la réponse car je ne comprends pas encore très bien le groupe diédral !

Pour R* et C* ben là j'ai dit que dans C* on pouvait trouver un élément d'ordre 4 : i. Mais dans R*, il n'y a pas d'éléments d'ordre 4 (par ex si on essaie de résoudre l'équation x^4=1, cela revient à x²=1)

Pour D12 je ne comprends pas non plus le fait qu'il y ait au moins 12 éléments d'ordre2...

D₁₂ peut être vu comme le groupe des isométries du plan qui laisse fixe un polygône régulier qui a 12 côtés. Il est formé du groupe cyclique d'ordre 12 engendré par la rotation d'angle 2/12, et les autres 12 éléments sont tous des symétries, donc d'ordre 2.

en fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi "au moins" 12 élts d'ordre 2, quels sont les autres?

Dans le groupe cyclique d'ordre 12 il y a aussi un élément d'ordre 2: la rotation r⁶. Dans un diédral quelconque D_n ça dépendra de la parité de n, mais il y aura toujours "au moins" n éléments d'ordre 2.