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Groupes, sous groupes, sous groupes normaux

Posté par
NsSommes1 25-10-09 à 14:37

Bonjour, je suis en train de relire des exercices fait en cours pour un DS

Mais je ne comprends pas certains trucs

Dans l'un des exercices, on a :
G un gpe, g qui appartient à G un élément d'ordre 2.
Il faut montrer que {1,g} normal a G équivaut a g appartient Z(G) qui est le centre
Dans cet exercice mon prof écrit g différent de 1 mais je ne vois pas pourquoi :/

Dans un autre exercice, j'ai G un gpe et N un sous groupe de G,
On a N normal dans G, x appartient à G, n appartient à N
On peut écrire Nn=nN car N est un sous groupe normal, Or le prof a ecrit Nn=nN=N pourquoi ?

Merci de votre aide

Romain

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 14:51

pour le 2eme je viens de comprendre c'est vu que n appartient a n, nN=N

Je bloque toujours pour le 1er ....

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 14:51

n appartient à N pardon

Posté par
Camélia Correcteurre : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 15:10

Bonjour

Dans le premier exo, le prof écrit g \neq 1 parce que un élément d'ordre 2 ne peut pas être égal à 1!

Alors soit x dans G. Comme {1,g} est normal x^{-1}gx\in \{1,g\} Comme x^{-1}gx\neq 1, il te reste la seule possibilité x^{-1}gx=g et après tu multiplies par x à gauche.

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 15:16

un élément g de G est d'ordre 2 ssi g2= e (élément neutre) donc si g différent de 1 on insinue que e différent de 1 aussi c'est ca?

Posté par
Camélia Correcteurre : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 15:28

Non, un élément d'ordre 2 est tel que g^2=e et tel que g^1\neq e

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 15:32

ah d'accord je ne savais pas ca merci

Posté par
davidGre : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 15:34

Salut NsSommes1

> Dans cet exercice mon prof écrit g différent de 1 mais je ne vois pas
> pourquoi :/

Parce que le neutre e=1 est un élément d'ordre 1 (c'est le seul),
alors que l'énoncé précise que g est d'ordre 2 :
la précision que tu ne comprends pas est superflue, mais
elle voulait rendre les choses plus claires pour toi .

Sinon, pour le problème,
dire que g est d'ordre 2, c'est dire que g^2 = e.
Qu'est-ce que ça veut dire quoi que H=\{e,g\} est normal ?

Que \forall x \in H,\ \forall h \in G,\ h^{-1}\cdot x\cdot h \in H. Ici, le groupe H n'a que deux éléments, e et g (tu peux remarquer que g^{-1}=g).

Si on prend x=e, la relation précédente revient à h^{-1}\cdot x\cdot h = h^{-1}\cdot h = e\in H, ce qui est évidemment vrai.

Il nous reste alors à prendre x=g et la relation devient

h^{-1}\cdot g \cdot h \in H.

Ce dernier élément ne peut pas être égal à e, sinon
on aurait g \cdot h =h et donc g=e, ce qui n'est pas vrai. Donc, cet élément est égal à g et on a donc :

\forall h \in G, h^{-1}\cdot g \cdot h =g,

c'est à dire exactement que g commute avec tous les éléments du groupe, ou encore qu'il appartient au centre de G, Z(G).

J'espère que j'ai été un peu clair ... dis-moi

David

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 15:35

Et est ce qu'un groupe cyclique est toujours abélien ?

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 15:38

Salut David,

je comprends très bien grâce à ton explication mais un truc me chiffonne quand même, tu dis que e=1 alors que rien n'est précisé sur le groupe G et sur son opération interne donc le neutre pourrait être 0 et non 1 ...

Posté par
Rodrigore : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 16:04

Bonjour,
Oui un groupe cyclique est toujours abélien.
Dans un groupe on note le neutre comme ca nous chante, si le groupe est abélien en general on le note 0, sinon on le note 1.
Dans un groupe y a pas "O et 1", y a juste un neutre qu'on note l'un ou l'autre (mais les 2 ne coexistent pas comme dans un anneau par exemple)

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 16:07

Je te remercie pour ces précisions et merci de l'exemple avec les anneaux mais je n'ai pas encore vu ce cours (semestre 6 lol ^^)

Posté par
Rodrigore : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 16:09

Tu peux montrer si tu vuex qu'un groupe cyclique est abélien, ce n'est pas dur.

Posté par
davidGre : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 16:16

J'ai pris e=1 parce que l'énoncé l'avait noté comme ça aussi.
Mais peu importe si on le note 1 ou 0.
Fais bien la différence entre les conventions de notation, qui n'ont que peu d'importance, et ce qui véhicule vraiment du sens.

Mais je viens de voir que Rodrigo t'avait déjà répondu.

Bon courage

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 16:55

David ou vois tu dans l'énoncé que e = 1 ???

Posté par
Rodrigore : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 17:00

Non mais 1 ou e c'est une notation... On note 1 a la place de e si tu preferes.

Posté par
NsSommes1re : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 17:14

ok merci

Posté par
davidGre : Groupes, sous groupes, sous groupes normaux 25-10-09 à 17:35

Excuse-moi, je mets du temps. Rodrigo t'a encore une fois déjà répondu.

> Il faut montrer que {1,g} normal a G équivaut.

C'est là que je l'ai vu : 1 signifie ici l'élément neutre du groupe.


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