Si elle commute avec touts les endomorphismes, alors commute avec les projections et stabilise donc toutes les droites...

Merci de ton aide Rodrigo, mais pourrais tu expliquer un peu.


Je dois utiliser un projecteur ?

Ben prend un droite quelconque Re (ou e est un vecteur quelconque), prend la projection p sur Re, parallement a un supplémentaire que tu choisi comme il te plaira. Si on appelle f ton endomorphisme a f(e)=f(p(e))=p(f(e)).
Donc f(e) est dans ker(p-1) qui est Re... donc f(e) est proportionnel à e, ceci étant vrai pour tout e de V ton espace de depart. Donc f stabilise toute droite, c'est une homotetie (cette derniere implication est facile a prouver)

Merci beaucoup, j'ai comrpis, je vais regarder celà de plus près et le rédiger =)

Ceci est encore vrai lorsque f n'est plus supposée linéaire, comment le montrer.

Non ce n'est bien sur plus vrai quand f n'est plus supposé linéaire...

Si justement, on me demande de montrer que le résultat subsiste lorsque f est non supposée linéaire de E dans E qui commute avec tous les automorphismes de E.

Oui j'ai dit une connerie...
Ben tu montre d'abord que f stabilise toutes les droites de la meme façon... ensuite en rstriction a une droite il est facile de voir que f est une homotetie, reste a montrer que le parametre de l'homotetie ne depend pas de la droite considéré et pour ca prend R la rotation qui envoie v sur u (ou v et u sont Deux vecteurs quelconque. on appelle a_u et a_v les rapports des homoteties de f restreinte a Ru et Rv. Alors f(R(v))=Rf(v)=R(a_vv)=a_vu=f(u)=a_uu
Donc a_u = a_v

Attention j'ai utilise deux fois la lettre R pour des trucs différents (un coup c'est le corps de reels et un coup c'est la rotation qui envoie u sur v)

Bonsoir

Rodrigo>> Attention! On ne dit pas que f commute avec tous les endomorphismes mais seulement avec les automorphismes.

La relation de commutation est continue et End(V) admet Gl(V) comme sous espace dense....

Cela dit on peut aussi s'en sortir par un raisonnement purement algébrique.