Bonjour Meuhmeuh

Il y a des erreurs dans ton énoncé : q qui devient p, c qui n'apparaît pas dans la condition de la question 1, derniers vecteurs de la base pas très clairs...Merci de donner un énoncé précis.

Bonjour, désolé j'ai fait des erreurs de frappe
je réécris l'énoncé: I un hyperplan de E et F un sous espace vectoriel de E de dimension p.
x F privé de I.
1)Montrer qu'il existe v1,....vp-1 tels que (x,v1...vp-1) soit une base de F; et que pour tout c ,(x,v1 + cx, v2....vp-1) est une base de F.
2) soit u1...un-1 une base de I. Montrer que (x,u1...un-1) est une base de E.
vp-1 signifie v indice (p-1); et un-1 signifie u indice n-1
merci

Salut Meuhmeuh,

ok maintenant c'est clair!

1) x est un élément non nul de F, on peut donc appliquer le théorème de la base incomplète pour compléter la famille libre {x} en une base de F.

On vérifie ensuite que pour tout c non nul, (x,v1 + cx, v2...,vp-1) est encore libre (supposer qu'une combinaison linéaire est nulle, développer et utiliser la liberté de (x,v1, v2...,vp-1) pour en déduire que tous les coefficients sont nuls.

On a donc une famille libre de F de cardinal n-1, donc...



2)Il suffit de prouver que cette famille de cardinal n est libre dans E.

Ecrire une combinaison linéaire nulle, vérifier que si le premier coefficient était non nul, x s'exprimerait en fonction de vecteurs de F, dire que c'est impossible (pourquoi?), en déduire que ce premier coefficient est nul.

Réécrire alors la combinaison linéaire nulle et en déduire que les autres coefficients sont automatiquement nuls eux aussi, conclure.