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Hyperplans de L(E).
Bonsoir ;
Voici une question (encore sans réponse) postée sur un autre forum , je la poste d'abord telle qu'elle :
Montrer que tout hyperplan de contient au moins un isomorphisme de
.
J'avais fais la même remarque 
,
je propose alors de le faire en dimension finie puis aprés étudier une généralisation éventuelle
Je tente un truc:
soit H l'hyperplan de M(n,K) alors soit pour tout la matrice élémentaire
.
Alors H contient la matrice avec un 1 en haut à droite,des 0 partout et des 1 sur la sous-diagonale qui est inversible.
Soit il existe tels que
.
On considère alors
.
Donc soit:
d'ou:
.
En particulier il existe or toute matrice de V est inversible.
Il faut corriger toute matrice de est inversible car toute matrice M de V est de la forme
et a ne peut etre nul si M est dans H car
Bravo Cauchy 
On est maintenant fixé :
En dimension finie () tout hyperplan
de
contient au moins un isomorphisme de
(voir même une infinité).
Ce résultat reste-t-il vrai en dimension infinie ?
Merci 
Je me demandais si on pouvait pas faire autrement au départ je voulais le faire de manière plus topologique en utilisant que Gl(n,K) est dense dans M(n,K) mais bon j'ai pas abouti.
Sinon autre question,ca marche avec un hyperplan est ce que vous avez une idée de la dimension maximale(en fonction de n) d'un sous-espace ne contenant pas de matrice inversible.
Je répond partiellement à ma question,
déja un sous-espace de dimension n²-n peut ne pas contenir de matrice inversible,considérer par exemple le s-ev engendré par les E(i,j) sauf les n d'une colonne par exemple.
Après est-ce que tout s-ev de dimension n²-n+1 contient une matrice inversible ?
Bonjour
Si j'ai bien compris, K est un corps quelconque, donc les histoires de densité passent à la trappe!
J'ai mis ça surtout pour qu'il apparaisse dans ma liste, car le coup de la dimension infinie m'intrigue vraiment!
Bonjour à tous.
J'ai bien vu le mot que Raymond m'a laissé sur un autre topic.
Pour la dimension infinie, je n'ai aucune idée.
En revanche pour la question posée par Cauchy
Après est-ce que tout s-ev de dimension n²-n+1 contient une matrice inversible ?
j'ai cru l'avoir résolue, mais ce n'est pas encore ça! Je vous raconte quand même.
Soit F un s.e.v. de L(E), soit (f1,...,fp) une base et soient K=Ker(f1)
...Ker(fp) et I= Im(f1)+...+Im(fp).
Il est clair que le noyau de toute fonction de F contient K et que l'image de toute application de F est contenue dans I. Si K
{0} ou si IE, on voit facilement F ne contient aucun inversible et que dim F
n2-n.
Mon idée était donc de montrer que si je suppose que F ne contient aucun inversible ces (ou une) de ces conditions est vraie.
Malheureusement, j'ai des exemples où F ne contient aucun inversible mais K={0} ou I=E. Il se trouve que les deux ne sont jamais vraies en même temps dans mes exemples, mais je ne sais pas le démontrer. Donc question:
Si K={0} et I=E, F contient-il un inversible?
Bonsoir.
Ce sujet m'intrigue vraiment, alors, si certains ont de nouvelles idées pour la dimension quelconque ...
A plus RR.
Bonsoir.
La réponse est positive (avec l'axiome du choix). Voici une démonstration, que je livrerai en 2 post.
J'établirai dans le prochain post qu'il existe deux éléments A et B de L(E) tels que A+B est un automorphisme de E et, pour tout t de K (corps de base de E), I+tA et I+tB sont des automorphismes de E (I désignant classiquement l'application identique).
Supposons donc ceci réalisé (l'existence de A et B tels que ...).
Premier cas: A et B appartiennent à l'hyperplan H. Alors H contient l'automorphisme A+B.
Deuxième cas: A n'appartient pas à l'hyperplan H. On sait que H admet une équation de la forme f(X)=0, où f est une application linéaire de L(E) dans K. Comme A n'appartient pas à H, f(A) est non nul et l'équation en t f(I+tA)=0 admet une (unique) solution y=t. L'automorphisme I+yA est alors un élément de H.
Troisième cas: B n'appartient pas à l'hyperplan H. C'est le même raisonnement que dans le deuxième cas.
Voilà. Le résultat est démontré (sous la réserve que le post suivant et celui-ci ne contiennent pas de faute).
Ici, E est de dimension infinie et admet donc une base , où I est un ensemble infini.
Je peux écrire I sous la forme , où J et K sont deux parties disjointes de I, ayant même cardinal. Je noterai
une bijection de J sur K.
Je définis les endomorphismes A et B de la manière suivante:
On a donc:
On en déduit que et donc que A+B est un automorphisme.
Par ailleurs, on vérifie facilement que:
Donc, pour tout t de K: (I+tA)(I-tA)=I=(I+tB)(I-tB) et donc, I+tA et I+tB sont des automorphismes.
Voilà. J'ai établi le résultat que j'avais annoncé dans mon précédent post (sous réserve qu'il n'y ait pas d'erreur, bien entendu).
Merci, elhor, de nous avoir communiqué cet exercice.
Bonjour perroquet
Je ne vois pas d'erreur (ce qui ne prouve pas encore que c'est juste) et je trouve ça très astucieux!
Bonjour perroquet et Camélia.
Perroquet : je suis très impressionné par ta preuve.
Il y a en particulier deux points que je n'aurais pas osé mettre en oeuvre :
1°) prendre une base et en faire une partition en deux parties de même cardinal
2°) chercher des automorphismes du type A + tI.
En effet, pour 2°) : lorsque l'on travaille avec une topologie sur L(E), le corps de base étant C et E un Banach, le spectre d'un endomorphisme continu n'est jamais vide.
Encore bravo pour cette preuve.
A plus RR.
Bonjour à tous,
ohoh perroquet mais c'est bien joué tout ca
Tu peux me préciser un point :
Je peux écrire I sous la forme I=J union K , où J et K sont deux parties disjointes de I, ayant même cardinal.
Comment montres-tu ceci?
Théorie des ensembles.
On prend I' un ensemble ayant même cardinal que I, d'intersection vide avec I. On sait que la réunion de I et de I' est un ensemble ayant même cardinal que I. Il existe donc une bijection f de cet ensemble réunion de I et I' sur I. Je pose J=f(I) et K=f(I').
Je ne suis pas bien sûr de la rigueur de mon raisonnement, mais je suis sûr de le rendre rigoureux.
Ok,merci pour l'explication je vois à peu près.
On prend I' un ensemble ayant même cardinal que I, d'intersection vide avec I.
On sait comment qu'il existe un tel I'?
Euh...
Je vais te proposer une autre démonstration.
Le produit cartésien de I et de {a} est un ensemble I' équipotent à I.
Le produit cartésien de I et de {b} est un ensemble I" équipotent à I.
I' et I" sont disjoints. Leur réunion est un ensemble équipotent à I. Il existe donc une bijection f de cet ensemble réunion de I et I" sur I. Je pose J=f(I') et K=f(I").
Oui perroquet c'est une belle preuve (propre à la dimension infinie) qui utilise l'axiome du choix (existence de bases) et la théorie des cardinaux (tout ensemble infini est réunion disjointe de deux ensembles équipotents).
Bonsoir, elhor et Cauchy.
Deux généralisations de l'exercice:
Mneimné a démontré que la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de M_n(K) qui ne contient que des matrices non inversibles est égale à n^2-n et que la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de M_n(K) qui ne contient que des matrices de rang inférieur ou égal à p vaut np (je ne suis pas sûr de l'intitulé exact, mais je peux retrouver la référence, si ça vous intéresse.
Je pense avoir montré que tout sous-espace de codimension finie d'un espace vectoriel de dimension infinie contient au moins un automorphisme (mais je n'ai pas écrit cette démonstration). Là aussi, si ça vous intéresse ...
Oui perroquet j'avais conjecturé ce résultat au-dessus mais j'ai pas de démo sur la dimension maximale de non inversibles donc si t'as une démo bien entendu que ca nous intéresse 
Tu as le livre de Mneimne,Réductions des endomorphismes? Vu que je l'avais feuilleté vite fait si oui tu peux me dire ce que tu en penses?
Pour la référence et la démo: il faut prévoir un délai ... (24 h).
En ce qui concerne Mneimné: j'ai deux de ses livres, mais pas celui de Réduction des endomorphismes. Il est probable que je l'achèterai mais en attendant, je ne peux pas te dire ce que j'en pense. Il est à peu près certain que l'exposé n'est pas classique et qu'il y a de nombreux résultats originaux.
Ok c'est pas pressé,t'as celui sur les groupes de Lie et la géométrie?
D'ailleurs quelqu'un sait si les livres vendus chez Hermann(petits livres gris) vont être republiés je les trouve bien mais pas mal ne sont plus en vente.
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