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Idéal
Bonjour !
J'ai A = {x
;
a,b
,b impair,x=a/b}.
1- J'ai montré que A est un sous-anneau de
2- J'ai trouvé que les éléments inversibles de A était A privé de 0.
Donc là j'en déduis que A est un corps.
3- Soit I=(2), l'idéal de A engendré par 2.
Je dois montrer que tout idéal propore de A est contenu dans I.
Cela me pose problème car comme A est un corps il n'a que deux idéaux l'idal nul et A lui-meme.
A quoi correspond l'idéal I ?
Sinon si j'ai fait une erreur et que A n'est pas un corps, pour répondre à cette question je considère J un idéal propre de A, donc J est différent de A.
Je veux montrer que J est contenu dans I.
Soit y un élément de J comme J est un idéal de A y = j.a/b avec j dans J et a/b dans A. Comment faire maintenant pour montrer que y est dans I ?
Merci pour vos explications
Elotwist
Bonjour,
Oui... A n'est pas un corps... seuls les éléments de A dont le numérateur est impair sont inversibles dans A.
MM
ah d'accord !
donc pour l'idéal propre de A, je dois considérer J un idéal différent de A.
Comment montrer que J est inclu dans I ?
{0} et J (2) contient déjà tous les entiers pairs : 2n = 2n/1
Il contient ensuite tous les produits du type : x.2n, où x appartient à A
Donc, sauf erreur, (2) = {2k/b, k dans Z, b dans Z, b impair}
Soit maintenant J un idéal propre de A et x non nul dans J.
Si x est inversible, alors, J = A : faux, donc x est non inversible.
D'après ce que nous avons vu plus haut, les non inversibles de A sont du type : pair/impair : ce sont des éléments de (2).
Je n'avais pas vu ton dernier message. Nous nous sommes croisés.
La question de l'unicité est-elle posée dans ton sujet ?
Que sais-tu sur les idéaux maximaux ?
On me dit en déduire que I est l'unique idéal maximal de A.
On a montré que si J est un idéal de A , alors J 
I.
On sait que I est inclus dans A et I différent de A.
I est un idéal maximal si tout pour tout idéal J de A on a JI.
Je voulais introduire K tel que IK et montrer que K=I ou k =A. Mais je ne sais pas trop comment m'y prendre.
J = I ou J = A
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