Bonjour

Pour surjectif, ça va pas!

Soit z un complexe. Tu dois montrer qu'il existe un polynôme P(X,Y), tel que P(a,b)=z. Bien entendu, il suffit de prendre P(X,Y)=z (le polynôme constant) et tout va très bien!

2) Soit P un polynôme quelconque (pas dans l'idéal). On commence par faire la "division" par X-a. Il s'écrit

P(X,Y)=(X-a)Q(X,Y)+R(Y) où en fait R(Y)=P(a,Y). Ensuite, on fait la division euclidienne de R par Y-b et on trouve bien P(X,Y)=(X-a)Q(X,Y)+(Y-b)T(Y)+c.

Avec ça, tu as ce qu'il faut pour montrer que , donc que le quotient est isomorphe à C qui est un corps.

Pourquoi quand on fait la division de P par (X-a) le reste est un polynôme seulement en Y ?

Bonjour Elotwist,

le degré du reste doit être < au degré de X-a, c'est la division euclidienne qui veut ça,
donc R sera un polynôme constant en X.

ah d'accord !
La dernière question de cette première partie d'exercie est de montrer que M_a,bn'est pas principal.

Un idéal principal, est un idéal engendré par un seul élément. Or M_a,best engendré par (X-a) et (Y-b) donc M_a,b n'est pas principal.

Est ce correct comme démonstration ?

... presque... S'il était principal, il aurait un générateur P qui serait un diviseur commun de X-a et Y-b ce qui est évidemment impossible!

Merci !
(II) Soit M un idéal maximal de [X,Y]. on veut monttrer que M n'eset pas principal.
On pose par l'absurde que M=(P)est engendré par un élément P de [X,Y].

1) Montrer que P0 et que deg_xP1 ou deg_yP1 où deg_x P et deg_yP désignent les degrés de P relatifs à X et Y respectivement.

P0 cela me parait évident car sinon M = 0 et danc M n'est pas maximal.

Par l'absurde, si deg_xP<1 et deg_YP<1 alors P et donc P m ce qui est absurde donc deg_xP1 ou deg_yP1 .

Est ce correct ?

... et surtout si M est engendré par une constante, M=C, ce qui est exclu!

Maintenant on suppose que deg_yP= n1 et on posera : P(X,Y)=A_n(X)Yⁿ+...+A₀(X), où pour i=0,...,n A_i(X)[X] et A_n(X)0

2-Justifier qu'il existe a tel que A_n(a)0, puis qu'il existe b tel que P(a,b)=0.

Comme P(x,Y) = (X-a)Q(X,Y)+(Y-b)T(Y)+c il existe a tel que A_n(a)0

Mais pour b, je ne vois pas

c'est beaucoup plus simple que cela
un polynôme non nul en une variable à coeff ds un corps n'a qu'un nombre fini de racines
il suffit de choisir a non racine de An puis b non racine de P(a,X)

ou plutot b non racine de P(a,Y)

non il faut que b soit racine de P(a,Y) puisque P(a,b)=0.

(3) On me demmande maintenant de démontrer que M est inclus dans M_a,b=(X-a,X-b)l'idéal de [X,Y]engendré par les polynômes X-a et Y-b.

Soit P M.
P(X,Y)=A_n(X)Yⁿ+...+A₀(X)
Mais comme tout polynôme de [X,Y]s'écrit P(X,Y)=(X-a)Q(X,Y)+(Y-b)T(Y)+c et on a P(a,b)=0 donc c=0 M estinclus dans M_a,b.

Est-ce juste ?

Oui, c'est juste!

(4) En utilisant la question (I-4), aboutir à une contradiction
A la questiion (I-4) on a montré que M_a,b n'est pas principal.
Donc comme M est inclus dans M_a,b, M n'est pas principal. Ce qui est en contradiction ave cle fait qu'on a supposé que M est engendré par un élément.

Est-ce correct ?

Preque! On a supposé que M est maximal. Donc et on a vu que n'est pas principal.

Merci !
Dans un autre exercice, on me demande si les anneaux suivants sont intègres et s'ils sont des corps.

1)/2[X]/(X²+1)
je sais que :

Si A est un anneau principal , p est irréductible p premier

Si on pose P(X) = X²+1 , on a P(1) = 0 dans /2 donc P n'est pas irréductible , donc P n'est pas premier, donc //(X²+1) n'est pas intègres

de même puisque p n'est pas irréductible, (p) n'est pas maximal et donc /2/(X²+1) n'est pas un corps .

OUI!

2)[X]/(X+1)

(X+1) est irréductible (x+1) est premier
Donc [X]/(X+1) est un anneau intègre

(X+1) irréductible, donc [X]/(X+1) est un corps

3)[X,Y]/(X²+Y²)

X²+Y²=(X-iY)(X+iY) donc X²+Y² est réductible donc [X,Y]/(X²+Y²) n'est ni intègre ni un corps

Est-ce correct ?

il peut être utile de comprendre que c'est tout simplement isomorphe à
intuitivement quotienter par X+1 revient à identifier X à-1
peut se décomposer en produit de deux anneaux avec le théorème chinois ce qui rend plus clair sa structure
chaque composante est tout simplement isomorphe à
un produit est toujours non intègre car (0,1)x(1,0)=(0,0)
par contre cet anneau ne contient pas de nilpotent car il n'y en a pas ds

je m"apperçois que j'ai oublié de dire que tes arguments étaient corrects

grosse faute de frappe
chaque composante est tout simplement isomorphe à puisqu"en quotientant, on identifie X à ±iY

Je n'ai pas tout compris l'autre raisonementavec le théorème chinois.

Est ce que pour démontrer que /2/(x²+1) je ne fais pas une erreur ?
je viens de m'apercevoir qu'il faut que l'anneau soit principal et intègre pour appliquer ce que j'ai appliqué or /2 n'est pas intègre et comment voir que s'il est principal ou pas ?

Que si! Z/2Z est un CORPS!

oui Z/2Z est un corps mais il n'est pas intègre !
Comment voir s'il est principal ou pas ?

Si il est intègre

Salut

Tu peux revenir à la définition d'un anneau intègre, et utiliser le fait que la classe d'équivalence de 2 vaut celle de 0 dans cet anneau.
Par exemple,

Sauf erreurs ...

oups, j'ai dit des bêtises !

J'ai dit des bêtises car ça ne prouve rien, puisque la classe déquivalence de 2 est justement celle de 0

Or, il faut savoir si pour tout a et b dans ton anneau, ab=0 implique que a=0 ou b=0  (le nul dans ton anneau)
si c'est le cas, alors ton anneau est intègre.

Rq :
Z/nZ est intègre ssi n est premier

j'ajoute que dans un corps K tous les idéaux sont principaux
car il n'y a que deux idéaux {0} et K engendrés par 0 et 1 respectivement

mais pour tu ne travaille pas dans mais dans   anneau de polynôme à coeff dans un corps donc euclidien et donc principal factoriel et tout ce qu'il faut pour ne pas risquer de faire d'erreur sur les notions d'irréductible et premier

dans un anneau euclidien, tous " les théorèmes aux quels on est habitués" en arithmétique dans   sont encore vrais
il faut juste faire attention à la liste des éléments inversibles qui change :
±1 dans  , les polynômes constants non nuls dans K[X] ....
ou plus perturbant peut être {1,-1,i,-i} dans   . . .