Bonjour,
il suffit de faire des démonstrations "élémentaires" du style
si x est dans le plus petit idéal de A contenant I+J alors il est dans ... etc
idem pour la 2.

pour la 2. je prends un éléments de IJ et je montre qu'il est dans I inter J en montrant qu'il est forcément dans I et dans J donc il est dans l'intersection c'est ça ?

euh par contre j'ai du mal à voir pour la 1. Peux tu détailler un peu plus comment aboutir au terme le "plus petit" ?

Merci de ton aide!

Bonjour (salut otto )

Je suppose que l'anneau est commutatif, sinon ce n'est pas vrai!

Pour la 1. Soit K un idéal qui contient I et J. Montre que I+JK.

Pour la 2. c'est une conséquance immédiate de la définition d'un idéal!

Merci beaucoup de toutes ces précisions

Je ne vois pas pourquoi c'est une conséquence de la définition d'idéal?

pourquoi si A est non commutatif ça ne marcherait pas ? (parce que dans mon exercice il n'est précisé commutatif qu'à une question ultérieure ?

Merci d'avance de l'aide.

S'il n'est pas commutatif, il faut préciser idéal à gauche, à droite ou bilatère...

La première question marche dans tous les cas!

Si et ou est le produit xy?

Je ne connais pas ces notions d'idéaux à gauche à droite ou bilatères ... ?

le produit xy est dans I et dans J c'est ça ?

Merci d'avance

Oui, c'est ça! Quelle est ta définition pour "idéal"?

un idéal I d'un anneau A dans mon cours est défini par les propriétés :
(I,+) sous-groupe de (A,+)
pout tout a dans A et tout i dans I alors ai est dans I et ia est dans I (sachant que parfois ia et ai ne sont pas égaux)

Est-ce que ça fonctionne mieux maintenant ?

Merci d'avance.

Oui, ça c'est la définition d'un idéal bilatère; tout va bien... Alors xy est dans parce que x est dans I, (peu importe y) et que y est dans J (cette fois ça ne dépend pas de x).

oui oui ca me parait logique maintenant comme x est dans I et que y est dans j et donc dans A comme I idéal alors xy est dans I et je refais pareil en prenant J et là j'ai xy est dans J et du coup xy est dans les deux et donc dans l'intersection ^^ c'est bien ça ?

Merci d'avance.

Oui.

Merci beaucoup j'avais tout en tête mais un peu mélangé merci beaucoup !!

Mince je viens de me découvrir un nouveau problème ! J'essaie de montrer que IJ est un idéal mais je me retrouve coincé je n'arrive pas à montrer que (IJ,+)est un sous-groupe de (A,+) enfin je ne coince pas pour l'élément neutre mais je n'arrive pas à montrer :
si c,dIJ alors c-dIJ ?
Je coince au niveau de la somme, pouvez-vous encore m'aider un peu ?

Merci beaucoup.

Tu as bien raison! Si par IJ tu entends les prduits de la forme xy avec x dans I et y dans I, CE N'EST PAS un idéal! Il arrive que l'on note IJ l'idéal engendré par ces produits, c'est-à-dire l'ensemble des sommes finies d'éléments de ce type...

IJ est bien l'idéal engendré par les sommes finis de produits donc j'ai pris deux sommes finis c et d et je voudrais que c-d est dans IJ encore ... Comment faire ?

Merci d'avance

Ben, c'est évident, tu écris tes sommes à la queue-leu-leu!

ben c'est pas si évident que ça enfin pour moi parce que je n'arrive pas à réécrire c-d comme somme finie de produits d'un élément de I et d'un élément de J ... Peux-tu me détaile un peu ?

Merci encore

Tous les x sont dans I et tous les y dans J

ça veut dire que tu supposes m plus grand que n mais comment arrives tu à ce que tu écris je ne comprends pas tous ces changements d'incices ??

Merci encore

NON, je ne suppose pas m plus grand que n!

Explicite pour n=3 et m=2

oui en effet ça marche je viens d'essayer. Mais pour répondre à ma question il faut que je montre que c-d est sous la forme d'une seule somme là il y en a deux ??

Merci d'avance

Une somme est une somme... En fait moi je dirais juste que c'est évident!

oui en effet c'est tout à fait vrai ... ^^ mais dans le cas que nous décrivons ici on dit que pour le x et le y est le meme pour i et j = 1 c'est toujours le cas ?

ce ne serait pas plus simple que je fasse d'abord c+d et après -d par exemple ?

Merci encore

Comme tu veux...

ça m'éviterai de faire du bricolage d'indices que je n'aime pas du tout mais dans ta somme plus haut x et le y est le meme pour i et j = 1 c'est toujours le cas ? Car pour moi les sommes finis portent sur des produits de termes différents non ?  

C'est pourquoi j'ai changé d'indices...

Ce serait encore mieux dans d de mettre des

d'accord je vois merci beaucoup encore pour toute cette aide .