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ideaux, anneaux de polynomes
Bonjour à tous !
Je suis en train de regarder un sujet d'algèbre qui porte sur les Anneaux et je suis confronté à un probleme.
On pose k un corps.
1) Soit k(X) le corps des fractions rationnelles sur le corps k. Que dire de la famille dans le k-e.v. k(X).
2) De maniere générale, soit V est un e.v sur le corps k engendré par une famille dénombrable, montrer que si F
V est une famille libre, alors L est finie ou dénombrable.
3) Soient J un idéal maximal de l'anneau de polynômes A=k[X1,...,Xn] et K=A/J.
Montrer que le k-espace vectoriel possède une famille génératrice dénombrable.
4) Soient p : A
K le morphisme de passage au quotient, ji l'inclusion canonique de k[Xi]A et .
Montrer que, si fi est injective, fi s'étend en un homomorphisme injectif de k(Xi)K.
En ce qui concerne les questions 1) et 2), c'est bon.
En revanche pour les questions 3) et 4) je sèche...
Je n'arrive pas à formuler les choses.
Je vous remercie par avance pour votre aide 
Bonsoir,
3)la famille des classes des est denombrable et engendre K sur k
4)si tu as une injection de k[X_i] dns le corps A, alors tu identifie k[X_i] a un sous anneau de A et donc comme k(X_i) est le plus petit corps contenant k[X_i].
Arg, pour la 3) j'avais déjà tenté cette solution mais ça me troublait qu'on ait rien qui soit en relation avec ce qui précédait. De plus on utilise même pas le fait que J soit maximal.
J'ai juste un peu de mal à te suivre sur la question 4) :
On identifie k[Xi] a un sous anneau de A, ok. Mais comment k(X_i) arrive dans la partie ?
Est-ce que ça rejoint le fait que si on a un corps K, un anneau intègre A et un morphisme d'anneau injectif de A dans K, alors pour tout corps L et tout morphisme f de A dans L, il existe un unique morphisme de K dans L pour former un diagramme complet ?
En tout cas je te remerice beaucoup pour ton aide Rodrigo.
Est-ce que ça rejoint le fait que si on a un corps K, un anneau intègre A et un morphisme d'anneau injectif de A dans K, alors pour tout corps L et tout morphisme f de A dans L, il existe un unique morphisme de K dans L pour former un diagramme complet ?
C'est dit un peu pompeusement, mais c'est ca. k(X_i) c'est le corps des fractions de k[X_i]
Oui, c'est un peu pompeux mais je cherchais à me rattacher à un théoreme de mon cours ^^.
Mais j'ai du mal à voir pourquoi c'est ce que c'est le corps des fractions qui intervient ( vis à vis de mon théoreme ) ?
J'aurais juste une autre question: pourquoi est ce qu'on peut dire que si le corps k n'est pas dénombrable alors f_i n'est pas injectif ?
Ben vu que k(X) est le corps des fractions de k[X] alors k[X] s'injecte dans k(X) et tu recolle a ton theoreme.
Plus simplement k(X) est le plus petit corps contenant k[X] (ou dans le quel k[X] s'injecte si tu veux) donc tout corps contenant k[X] contient aussi k(X) (la encore tu peux remplacer inclus par s'injecte)
Emsuite, si k(X) s'injecte dans K alors 1/(X-a) est une famille non denombrable libre de K, mais K est de dimension denombrable...
Ah d'accord. Je te remercie beaucoup, j'ai bien mieux compris le probleme !
J'ai une dernière question qui me vient : quand on parle d'un anneau de polynôme à plusieurs variables ( chose qu'on a pas trop étudier ), comme k[X1,X2,...,Xn], les éléments sont engendrés par les monomes mais aussi par les produits de monomes :
?
Oui bien sur! Je viens de comprendre le pourauoi de ta question effectivement j'avais mit X_i^j en pensant a une notation multi indice, il faut bien sur prendre tous les produits de monomes, ca ne change rien au fait que ce soit denombrable
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