Bonjour à tous, j'ai un petit souci pour répondre à la deuxième question de l'exercice ci dessous (la 1°)b.):


Nombres algébriques et nombres transcendants.

Dans tout le problème K est un sous-corps du corps des réels R et K[X] le K-espace vectoriel des polynômes sur K. Par définition, un réel a est algébrique sur le corps K si et seulement si le réel a est racine d'un polynôme P, autre que le polynôme nul, appartenant à K[X]. Dans le cas contraire, le réel a est transcendant sur le corps K.


Le but de ce problème est d'établir des propriétés simples des nombres algébriques et transcendants sur un corps K, d'en donner des exemples lorsque le corps K est celui des rationnels puis d'appliquer les résultats obtenus pour caractériser des figures géométriques constructibles " à la règle et au compas ".


Soient K un sous-corps de R et a un réel algébrique sur le corps K ; désignons par I(a) l'ensemble des polynômes P appartenant à K[X] qui admettent a comme racine :


I(a) = { P | P K[X], P(a) = 0 }.

1°)a. I(a) est un idéal de K[X] :

Démontrer que I(a) est un idéal de K[X]. En déduire l'existence d'un polynôme Ma unitaire (le coefficient du terme de Ma de plus haut degré est égal à 1) unique tel que I(a) soit l'ensemble des polynômes de K[X] proportionnels à Ma dans K[X].
I(a) = { P | Q K[X] ; P = Ma.Q }.

b.Démontrer que, pour qu'un polynôme P, appartenant à K[X], unitaire et irréductible dans K[X], soit le polynôme Ma, il faut et il suffit que le réel a soit racine du polynôme P.

un petit coup de pouce serait le bienvenu, je vous en remercie !