bonsoir

ta deuxième division ne convient pas ... le reste a un degré égal au diviseur !

bah oui bien sûr^^ Merci

Ensuite, après avoir trouvé l'identité de Bézout entre les 2 précéddents polynomes, on me demande de décomposer la fraction suivantes en éléments simples de R[X]:

F=(3X^5-x^4+6X^3+3X²+3X)/[(X²+X+1)(X²-X+1)²]

F s'écrit sous la forme F=(aX+b)/(X²+X+1)+(cX+d)/(X²-X+1)²+(eX+f)/(X²-X+1)

Dans un premier temps j'ai multiplié les membres de gauche et droite de l'égalité par X et en analysant les limites en +oo je trouve a+e=3
Ensuite j'ai calculé la valeur de F en X=0 et ai trouvé: b+d+f=0.

Pour la suite des événements je suis un peu bloqué disons et je me doute qu'il faut utiliser l'identité de Bézout trouvée en 1).
Sinon, j'aurais surement tenté de trovuer une décomposition de F en éléments simples de C[X] puis de R[X]

merci de votre aide

personne pour me donner ses idées de résolution? ^^

Pour calculer a et b d'un seul coup :
   Tu multiplies des 2 côtés par X² + X + 1 et tu remplace X par une racine r de X² + X + 1 .
A droite il ne reste que ar + b et à gauche (après qqs calculs) un truc du genre a'r + b' où a' et b' sont des réels tout comme a et b.
Tu utilises alors le fait que est un -ev de dimension 2 et que (1,r) en est une base puisque libre ( r .1)

Tu peux de cette façon calculer a , b , c et d .
e et f vont résulter de tes calculs.

En multipliant à gauche et à droite par X²+X+1, j'ai trouvé aj+b=-1/j (après simplifications et en prenant r=j) d'où a=-1/j² et b=0 . C'est bon ça?

Pour c et d j'ai multiplié à gauche et à droite par (X²-X+1)², trouvé une truc du style -cj²+d = 3/j²+2 d'où c=-3/j et d=2.

d'où au final : a=-1/j², b=0, c=-3/j, d=2; f=-2 et e=(-3j-2)/j²

NON !

Les a , b , c ....à trouver sont des réels .

  Je n'ai pas vérifié mais si tu arrives , sans erreur , à : aj + b = -1/j tu n'as pas fini puisque -1/j n'est pas mis sous la forme (1 réel) + (1 autre réel).j

Comme -1/j = -j² = j + 1 ,    a = b = 1

ok merci !