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Il existe des sous-ensembles de R non Lebesgue-mesurables
Bonsoir.
Petit souci technique sur un exercice d'intégration.
On introduit une relation d'équivalence sur l'ensemble des nombres réels en disant que deux nombres réels
et
sont équivalents si et seulement si
est un nombre rationnel.
On se donne un sous-ensemble de
tel que
ait exactement un et un seul élément dans chaque classe d'équivalence.
1. Quel axiome de la théorie des ensembles faut-il invoquer pour affirmer l'existence de ?
2. Vérifiez que, , il existe au moins un nombre rationnel
tel que
3. On suppose mesurable et on définit le sous-ensemble
comme l'union des ensembles
, pour
et
rationnel (i.e.
). Pourquoi
est-il aussi mesurable et de mesure dans
?
4. Vérifiez que les sous-ensembles et
décrivant l'ensemble des nombres rationnels de
, sont des ensembles deux-à-deux disjoints et déduisez-en que
et
sont nécessairement tous les deux de mesure de Lebesgue nulle.
5. Où se cache donc la contradiction ? Le sous-ensemble était-il vraiment mesurable relativement à la mesure de Lebesgue ?
Alors pour le 1., c'est l'axiome du choix ??
Après, je fais un blocage total sur la question 2.
Dans le 3., on sait que , ensemble des parties mesurables de
est une tribu. Si l'on prouve que
est mesurable, c'est gagné car on aura alors une union dénombrable d'ensembles mesurables. Comme
est supposé mesurable, j'ai envie de dire que par continuité de l'application "translation par
", cet ensemble est effectivement mesurable : c'est l'image d'un mesurable par une application continue ??
Soit . Alors il existe
tel que
. Maintenant si on prend
et
, alors
. Donc
. D'ou
??
Alors la, je bloque aussi! On veut montrer que sauf erreur de ma part. Je ne vois pas d'ou cela provient.
Après, on a par le fait que les ensembles en question soit disjoint. Puis, on utilise l'invariance par translation de la mesure de Lebesgue et l'on obtient
. Je ne vois pas comment continuer. Car on sait que
, ou est la contradiction ??
La conclusion est dans le titre de ce topic !
1) Oui. Il y a une infinité de classes d'équivalence, et pour former E, tu pioches un élément dans chacune de ces classes. Tu utilises donc l'axiome du choix.
2) Tu prends x tu sais qu'il est dans une classe d'équivalence. C'est la classe d'équivalence d'un certain y dans E. Donc x et y sont dans la même classe, ce qui signifie que x-y est rationnel. Or y = x-(x-y)
Pour la suite je passe le relais je n'ai pas trop le temps.
Bonjour,
ok pour le 1. et le 2.
Après, dans le 3., je n'arrive à prouver que . Deplus, je me demande si ma justification du fait
soit mesurable est correct.
L'image d'un mesurable par une application continue, est-ce mesurable ?
Ce que l'on sait bien c'est que l'image réciproque d'un mesurable par une application mesurable (en particulier par une continue) est mesurable. Donc utilise plutôt la translation inverse.
Pour la mesure de F je ne sais pas
Donc si je comprends bien, il faut écrire où
est une application continue ? Je ne vois pas quelle application prendre.
Sinon, comment montre-t-on que ?
Re.
1) Montre que est mesurable (c'est ici qu'il faut utiliser la translation inverse de
qui est
)
2) est mesurable car union dénombrable de mesurables.
Donc, si je comprends bien, c'est l'image réciproque d'un mesurable par une application donc un mesurable. Et par suite, l'union dénombrable de mesurable est encore mesurable : est mesurable.
Ok.
Ensuite pour montrer que j'essaye de montrer que (i)
et (ii)
, puis d'utiliser les propriétés de la mesure de Lebesgue.
J'ai réussi le (ii) mais je peine sur le (i) !
On prend . Par définition de
, il existe
tel que
. On note
.
Comme , on a de plus
et
, donc
.
Ainsi et
, donc
, d'où
Ok, c'est beaucoup plus clair 
Par contre, qu'est ce que signifie formellement que :
est un sous-ensemble de
ayant un et un seul élément dans chaque classe d'équivalence ?
Est-ce que cela veut dire que ou
ou bien ?
Ok, car en fait j'étais en train de refaire la question 2 de l'énoncé initial, et je m'aperçois que j'ai pas bien saisi le truc.
On on se donne un .
Donc il existe un unique tel que
.
Par conséquent, . A priori,
n'est pas dans
, si ?
Ah ce propos, ne peut-on pas utiliser ceci pour montrer que ?
Car ici, on montre que , il existe
tel que
.
Je sais pas si ca marche bien, car c'est qui doit être dans
, non ? C'était juste une idée comme ça.
Euh, non y'a bug en fait!
.Parce que, si on se donne , pour montrer que
, il faut montrer qu'il existe un
tel que
. Et ça, je vois pas trop comment le montrer, car ce qu'on a, c'est
!
.Dans le 4, est-ce bien cela : on prend deux sous-ensembles de
; il faut montrer que
i.e.
?
c'est pas si grave, je t'ai déjà donné une solution de toute façon.
Pour la 4, on te demande de montrer que pour ,
,
et
sont disjoints.
Supposons que ce ne soit pas le cas.
Ca voudrait dire qu'il existe un .
Donc d'une part avec
. D'autre part,
avec
.
Dans le premier cas, on a alors que et le second,
. Mais
a exactement un et un seul élément dans chaque classe d'équivalence, donc c'est absurde ?
il faut aller un peu plus loin pour se rendre que c'est absurde.
Tout ce que tu peux conclure pour l'instant, c'est que .
on a aussi , donc
,
donc (ce qui est contradictoire par rapport à ce qu'on a supposé au départ).
Ah ok, je vois ton raisonnement !
Mais ce que j'ai fait ne marche pas ? Il coince ou mon raisonnement ?
Sinon, ensuite, je pense ne pas me tromper dans mon post initial en disant que .
Mais je ne vois pas comment poursuivre, sachant que l'on a montré que !
Cela signifie donc que , mais ou se cache la contradiction ?
Ah ok, je vois ton raisonnement !
Mais ce que j'ai fait ne marche pas ? Il coince ou mon raisonnement ?
On ne voit pas ce qui est absurde, on a pas supposé que
Ensuite pour la contradiction, deux cas peuvent se présenter: ou bien
On ne voit pas ce qui est absurde, on a pas supposé que
A priori, pour montrer que c'est deux ensembles sont disjoints, c'est ce qu'il faut faire non ? On prend
Si par exemple
Sinon, si
Dans ton post du 28-09-08 à 12:19, tu à montré que et
, donc
(transitivité de la relation d'équivalence).
Comme et que
n'admet qu'un seul représentant pour chaque classe d'équivalence, on a nécessairement
.
si ,
(je crois qu'on appelle ça une somme arithmétique).
Ok, je suis convaincu !
Est-ce que l'ensemble est infini (*) ?
C'est moche, mais j'écris ça comme : et
du fait de (*).
Merci, j'étais en train de cherche l'injection !
Donc pour conclure, comme , c'est encore absurde. Les deux cas sont donc absurde ! L'hypothèse que
mesurable était donc absurde.
Juste, en commentaire, mon prof a mis la chose suivante :
Si l'on prend la fonction indicatrice de , on a
. Puisque
n'est pas mesurable,
n'est pas un borélien et donc la fonction indicatrice de
n'est pas pas
mesurable.
1. Avec la chaîne d'égalité :
et
.
Il s'agit donc de montrer que .
Mais .
Donc si alors
Et si
alors
. Donc on a bien l'égalité voulue et par conséquent
.
Ensuite, .
Est-ce bien ça ?
2. Après, je ne comprends pas pourquoi non mesurable implique non borélien ! Un borélien, c'est bien un élément de la tribu borélienne non ?
3. Enfin, si j'ai bien compris ma définition de la mesurabilité, il faut prouver que l'on a pas l'inclusion ?
1. ok
2. je ne sais plus quel est ta définition de mesurable, mais tu dois sûrement avoir l'inclusion (où
désigne l'ensemble des mesurables).
3. c'est ça.
Ahhh!
Oui, on a ce résultat : est la complétée de la tribu
!
Mais, ce n'est pas parce qu'un ensemble n'est pas dans , qu'il n'est pas dans
, je me trompe ??
ben si, quand un élément n'est pas dans une partie, il n'est pas non plus dans une partie plus grosse, c'est la définition de l'inclusion.
Alors ici, on a montré .
Euh, par contre c'est "n'appartient pas" ou "n'est pas inclus" ? J'ai un petit doute.
Parce qu'ensuite, si j'comprend bien, l'idée c'est de dire :
si on avait montrer que alors on aurait que
car
?
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