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image d'une application linéaire
Bonjour
On consière B(i,j,k) la base canonique et f une application linèaire
f(i)=2i+2j-k ; f(j)=-2i-3j+2k ; f(k)=i+2j
1) Soit v=(x,y,z) on pose f(v)=(x',y',z')
exprimer x' , y' , z' en fonction de x , y et z
2)Montrer que f(i) , f(j) et f(k) forment une base et déterminer l'image de f , puis donner la base et la dimension de Imf
3) Déduire le noyau de f , kerf et donner une base et sa dimension
j'ai répondu au 1 question
f(v)=xf(i)+yf(j)+zf(k)
= x(2i+2j-k)+y(-2i-3j+2k)+z(i+2j)
= (2x-2y+z)i+ (2x-y+2z)j+(-x+2y)k
donc x'= (2x-2y+z)
y'= (2x-y+2z)
z'= (-x+2y)
j'ai pas trouver les questions 2/ et 3/
merci de me répondre
Bonjour.
1°) Je trouve le même résultat.
2°) Cherche si f(i), f(j), f(k) sont indépendants. Pour cela, résous x.f(i) + y.f(j) + z.f(k) = O, x, y, z dans IR.
Bonsoir
On considère B(i,j,k) la base canonique et f une application linéaire definie par:
f(i)2i+2j-k ; f(j)=-2i-3j+2k ; f(k)=i+2j
v
1) Si v=(x,y,z) on pose f(v) (x',y',z')
exprimer x', y' et z'
2) Montrer que f(i) , f(j) et f(k) forment une base et déterminer l'image de puis donner la base et la dimension de Imf
3) Déduire Kerf et donner une base et sa dimension
j'ai répondu à la 1ère question
mais j'ai pas pu répondre aux question 2) et 3)
merci pour votre aide d'avance
*** message déplacé ***
2) Montrer que f(i) , f(j) et f(k) forment une base
Tu dois simplement montrer qu'ils sont linéairement indépendants et qu'ils génèrenent tous les vecteurs de R^3, c'est ok ça ?
*** message déplacé ***
tu peux associer une matrice à ton application linéaire, les colonnes de cette matrice forment l'image de f et tu peux trouver une base en reduisant la matrice selon gauss. Tu auras par le fait même sa dimension.
pour 3), tu peux prendre la formule dim ker(f) + dim Im(f) = dim dom(f)
*** message déplacé ***
bonsoir , ya t-il une autre méthode sans utiliser l'écttiyure matricielle pour déterminer le ker(f)
*** message déplacé ***
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