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Niveau Licence Maths 1e ann
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Image réciproque

Posté par
bill159 11-10-09 à 15:24

Bonjour,

Soit \large f:A \to B

Pour chaque ensemble F contenu dans B, l'ensemble des antécedants de F (noté \large {f^{ - 1}}\left( F \right)) est bien définie.

Par contre \large {f^{ - 1}}\left( B \right) \to A est définie uniquement si f est une bijective.
Soit l'application \large f:R \to {R_ + }:x \mapsto {x^4}

\large [1; + \infty [ = \left\{ {x \in R\left| {x \ge 1} \right.} \right\}

\large {f^{ - 1}}\left( {[1; + \infty [} \right) = \left\{ {x \in R\left| {x \ge 1} \right.} \right\} \cup \left\{ {x \in R\left| {x \le 1} \right.} \right\}

Citation :
Par contre \large {f^{ - 1}}\left( B \right) \to A est définie uniquement si f est une bijective.


c'est à dire?

Citation :
{f^{ - 1}}\left( {[1; + \infty [} \right) = \left\{ {x \in R\left| {x \ge 1} \right.} \right\} \cup \left\{ {x \in R\left| {x \le 1} \right.} \right\}

Pourquoi?

Merci d'avance...

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 15:56

Bon je vais y aller étape par étape:

Soit \large f:R \to {R_ + }
peut-on aussi écrire : \large {f^{ - 1}}\left( {{R_ + }} \right) = R ?

merci d'avance

simple formalité j'imagine

Posté par
Camélia Correcteurre : Image réciproque 11-10-09 à 16:02

Bonjour

Pour ton exo: f(x)=x^4 de R dans R_+

f^{-1}([1,+\infty[)=\{x\in R|\ f(x)\in[1,+\infty[\}=\{x\in R|x^4\geq 1\} et on finit par mettre l'ensemble des solutions de l'inéquation.

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:07

je comprend un peu mieux mais comment trouver l'ensemble de la classe {f^{ - 1}}

vous avez dit que c'est l'ensemble des x appartenant à R tel que f(x)>=1

pouvez vous expliquer cela, j'essaie de comprendre le cours

merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Image réciproque 11-10-09 à 16:10

Ben, f(x)\in [1,+\infty[\Longleftrightarrow f(x)\geq 1

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:12

et le [1,+\infty[ sort d'où, c'est de la fonction puissance 4 ou bien c'est juste un exemple?

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:13

ah donc on applique sur un ensemble la fonction f^-1?

on peut prendre par exemple un autre ensemble non?

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:20

peut-on aussi écrire que :

\large f\left( {[1; + \infty [} \right) = \left\{ {f\left( x \right) \in R\left| {x \ge 1} \right.} \right\} ?

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:27

\large {f^{ - 1}}\left( {{R_ + }} \right) = \left\{ {x \in R\left| {f\left( x \right) \in {R_ + }} \right.} \right\} = \large \left\{ {x \in R\left| {f\left( x \right) \ge 1} \right.} \right\}
est-ce juste?
autre chose:
\large f:{R_ + } \to R n'est pas définie, Pourquoi?
merci d'avance

Posté par
climberre : Image réciproque 11-10-09 à 16:28

Bonjour,

Citation :
Par contre \large {f^{ - 1}}\left( B \right) \to A est définie uniquement si f est une bijective.


Je pense que ceci signifie que \large {f^{ - 1}}:B \to A est définie à condition que f soit bijective. Cependant, \large {f^{ - 1}}\left( B \right) est toujours définie puisque B est un sous ensemble de B.

Citation :
{f^{ - 1}}\left( {[1; + \infty [} \right) = \left\{ {x \in R\left| {x \ge 1} \right.} \right\} \cup \left\{ {x \in R\left| {x \le 1} \right.} \right\}


Ici si x\ge1 ou x\le-1 alors x4 va appartenir à {[1; + \infty [}. On a donc {f^{ - 1}}\left( {[1; + \infty [} \right) = \left\{ {x \in R\left| {x \ge 1} \right.} \right\} \cup \left\{ {x \in R\left| {x \le -1} \right.} \right\}

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:31

On a pas encore fait les sous-ensemble...

le concept n'est pas évident à assimiler...

(je n'ai fais que 2 cours magistraux de Maths....)

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:33

j'ai pas compris pourquoi on pouvais écrire que {f^{ - 1}}\left( B \right) \to A
dans la mesure où x est dans A et f^-1 de B est l'antécedant de B, à savoir élément de A...

Posté par
climberre : Image réciproque 11-10-09 à 16:34

J'ai noté un peu rapidement sous ensemble peut-être. J'entend par là qu'un sous ensemble de B est un ensemble contenu dans B.

Posté par
climberre : Image réciproque 11-10-09 à 16:41

Citation :
{f^{ - 1}}\left( B \right) \to A


Cette notation ne veut rien dire en réalité. Tu confond la définition d'une fonction avec l'image réciproque de cette fonction.

Si f est bijective (c'est à dire que tout élément de B admet un unique antécédent) alors il existe une fonction réciproque définie de B dans A, donc {f^{ - 1}} : B \to A est bien définie.

Si f est une fonction quelconque, on peut noté f-1(B) l'ensemble des x\inA tel que f(x)\inB.

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:46

alors ça sert à quoi {f^{ - 1}}\left( B \right) \to A

c marqué dans le cours... bizarre bizarre

Posté par
climberre : Image réciproque 11-10-09 à 16:48

Pour moi sa serait plutôt une faute de frappe pour :
{f^{ - 1}} : B \to A

Sinon, je ne vois pas..

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:52

\large {f^{ - 1}}\left( B \right) = \left\{ {x \in A\left| {f\left( x \right) \in B} \right.} \right\}

ça c'est bon j'ai compris mais je parlais de ça:

\large {f^{ - 1}}\left( B \right) \to A

justement pour moi c comme dire que \large f:A \to A car \large \left\{ {x \in A\left| {f\left( x \right) \in B} \right.} \right\} est l'ensemble \large A...

\large {f^{ - 1}}\left( B \right) \to A

c comme ne rien faire, non?

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:53

une faute de frappe? non, le prof l'a écrit au tableau ... peut-être qu'il veut qu'on se familiarise avec f^-1

Posté par
bill159re : Image réciproque 11-10-09 à 16:55

et que effectivement si on a f:A \to B
alors {f^{ - 1}}\left( B \right) = A

cette application ne fait rien, ai-je raison?


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