salut

où bloques-tu ?

J'arrive même pas à démarrer à dire vrai... =/

Quelle est LA (*) méthode pour montrer une égalité de deux ensembles ?

Quelle est LA (*) marche à suivre pour montrer une inclusion de deux sous-espaces vectoriels ?

(*) : ça marche très souvent, notamment ici

La double inclusion.
euhhh... On prend un élément d'un e v et on montre qu'il est dans l'autre ?

Bingo. C'est parti alors !

Soit y appartenant à Im (g o f)
Alors il existe x tel que (g o f)(x) = y
i e : g(f(x)) = y
donc y appartient à Im g
D'ou Im (g o f) est inclus dans Im g

C'est bon pour la première partie ?

Oui

D'accord, je continue :

Soit y appartenant à Im g
Alors il existe x tel que g(x) = y
En composant à droite par f on obtient :
(f o g)(x) = f(y)
i e : x = f(y)
i e : g(x) = (g o f)(y)
Donc Im g est inclus dans Im (g o f)

Je suis pas certain pour la fin...

Oui c'est ça ; précise quand même :

g(x) = (g o f)(y)   or  g(x) = y  donc  y = (gof)(y) ie y appartient à Im(gof)

Tu vois que tu y arrives

Très bien, merci de ton aide en tous les cas

Ker (g o f) inclus dans Ker f

Soit x appartenant à Ker f
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(0) = 0
D'où Ker f inclus dans Ker (g o f)

Soit x appartenant à Ker (g o f)
Donc (g o f)(x) = 0
donc (f o g o f)(x) = f(0)
donc f(x) = f(0) car f o g = Id_E
donc Ker (f o g) inclus dans Ker f

ça va comme ça ? =D

Nickel

Pour la dernière question je dois montrer que E = Im g + Ker f et que l'intersection de Im g et Ker f est nulle c'est ça ?

Oui c'est ça!

Ker f + Im g = Ker (g o f) + Im (g o f)...

Je vois pas trop où aller...

Pareil que tout à l'heure !

Ker(f)+Im(g) est inclus dans E (en tant que somme de sev de E)

Le problème est de montrer que pour tout x dans E, il existe x₁ et x₂ appartenant à Ker(f) et Im(g) tels que x=x₁+x₂

si tu montres que la décomposition est unique, tu n'auras pas besoin de montrer que Ker(f) inter Im(g) = {0_E}

La méthode courante pour exprimer x₁ et x₂ en fonction de x est de raisonner par analyse/synthèse.

Ah oui, j'ai un truc qui ressemble à ça dans mon cours !

Pour tout x de E, x = g(x) + x - g(x) avec g(x) appartenant à Im g
Montrons que x - g(x) appartient à Ker f
f(x - g(x)) = f(x) - f(g(x)) = f(x) - (f o g)(x) = f(x) - x
ehhhh... je trouve pas 0 !

Vi normal, c'est pas toujours la même décomposition qui intervient

Ici, montre que x = g(f(x) + x-g(f(x)

Pour tout x de E, x = (g o f)(x) + x - (g o f)(x) avec (g o f)(x) appartenant à Im (g o f) = Im g
Montrons que x - (g o f)(x) appartient à Ker (g o f)
(g o f)(x - (g o f)(x)) = (g o f)(x) - (g o f)(g o f)(x) = (g o f)(x) - (g o (f o g) o f)(x) = (g o f)(x) - (g o f)(x) = 0
Donc x i (g o f)(x) appartient à Ker (g o f) = Ker f
cqfd !
Donc Im g + Ker f = E

Oui c'est juste, mais là tu as "senti" quelle décomposition on pouvait choisir pour que ça marche ; dans le cas général, il faudrait vraiment faire une analyse/synthèse

Pour le fun (oui, la décomposition est unique), montre que Ker(f)Inter Im(g)={0}

Montrons que Im g + Ker f = {0}

Soit x appartenant à Im g inter Ker f, i.e. :

Il existe u appartenant à E tel que g(u) = x et f(x) = 0
On compose par g à droite :
f(g(x)) = f(x) = 0
Comme f o g = Id_E, on en déduit x = 0
Donc Im g inter Ker f = {0}

D'ou Im g + (somme directe) Ker f = E

C'est bon ?

Je ne crois pas là ;

g(u) = x et f(x) = 0
f(g(u)) = f(x) = 0
or fog = id donc u=0
or x = g(u) = g(0) = 0

ah, oui, c'est mieux là effectivement !

Un grand merci à toi gui_tou

Et cette démonstration n'est pas obligatoire dans mon exercice étant donné que la décomposition est unique ? (si j'ai bien compris ton message précédent)
Comment sait on si cette décomposition est unique ?

D'accord, parfait :p

Merci encore de ton aide, passe une bonne soirée !

A bientôt

Merci, bonne soirée à toi aussi

Et bonne année ! ^^