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Inclusions
Bonjour à tous,
je vous sollicite pour un exercice sur les explicitations et contextes d'inclusions (ça donne envie hein ? 
)
Voici les 3 inclusions en question :
{x
| 
n
, x 
Un} 
{x | n, x Vn}
{x | x3-x+1 = m} {y | y² 
1}
{x |P(x) = 1} {aU0 + bU1 | a,b }
Je dois trouver une explicitation avec "
" et déterminer un contexte.
Je commence :
{x | n, x Un} {x | n, x Vn}
x, n, xVnUn
Contexte :
Un : 
Vn :
Avant de continuer, si quelqu'un peut me dire ce qui va et ce qui ne va pas, je l'en remercie 
Bonjour,
non, on n'a pas forcément Vn > Un pour tout n: si tu fais un dessin, l'important n'est pas un n précis, mais plutôt le fait que x soit supérieur à TOUS les Un et les Vn.
De plus, tu as eu une mauvais intuition car l'inégalité entre U et V sera dans l'autre sens.
Je t'en dis plus, ou tu veux réfléchir à partir de ça?
Tout d'abord, merci pour ta réponse rapide
Et puisque tu le proposes, je veux bien que tu m'en dises plus, les maths sans chiffres, c'est pas mon fort 
Va falloir que ça change, je sais, c'est pour ça que je suis ici
Ah ben les maths sans chiffres, c'est crucial si on veut comprendre!
Faisons un petit dessin ensemble, avec seulement 2 termes V0 et V1 pour les Vn en rouge, et seulement 1 pour les Un, en noir.
Où faut-il placer U1 en noir pour que l'inclusion soit respectée, autrement dit pour que, dès qu'un x est supérieur à U1, il soit automatiquement supérieur à V1 et V2?
Exactement!
Tu vois donc bien que ce que tu avais dit était faux, il y aura quelque part du U > V.
Maintenant supposons qu'on ait à placer U1 et U2 avec U2 > U1.
Où placer U2? Et U1 (très important!)?
J'ai fait un petit dessin :
en bleu, des termes de Un
en orange, des termes de Vn
C'est bien ça ?
Si oui,je n'arrive pas à trouver quoi écrire après le 
{x | x Un, x Vn} ?
Joli dessin, mais ce n'est pas du tout ça!
Tu as dessiné en abscisses les n, en ordonnées les Un et les Vn, puis tu as décidé que la lettre x représentait les abscisses, comme on te l'a bien gentiment rentré dans le crâne au Lycée.
ALors qu'ici, l'énoncé compare x à Un et Vn, donc il se visualiserait en ordonnées sur ton dessin.
En fait tes Un et tes Vn sont bien placés les uns par rapport aux autres, mais tes x ne le sont pas.
Je te suggère d'oublier les coordonnées, et de tout tracer sur une droite, du genre (ce sera beaucoup moins joli que ce que tu as fait!):
----------------U1------v1------------v2-------------------U2------------------
Où placer les x sur ce dessin?
J'ai rabattu le max d'Un et le max de Vn sur l'axe des abscisses (avec y = x)donc c'est bon, non ?
C'est comme si je mettais tout à plat je pense 
Sur ton dessin, il faut placer x à la droite de U2, c'est ce que je fais sur mon dessin
D'accord, je ne voyais pas ça comme ça!
Mais c'est quand même source d'erreurs que de mettre les x et les n au même niveau, le fait d'avoir deux axes n'aporte rien à l'intuition ici.
Sinon tu as raison, il faut placer les x à droite de U2 sur mon dessin.
Quelle conjecture peut-on donc formuler sur les Un et les Vn?
Certes, mais il faut une conjecture indépendante de x.
Où as-tu dû placer le plus grand des Un pour que ça marche?
attendue! Merci
Donc
{x | n, x Un} {x | n, x Vn}
max (Un) max (Vn)
La notation est bonne ?
Max d'une suite s'écrit bien comme ça ?
Contexte :
Un :
Vn :
Le max s'écrit bien comme ça, mais qui te dit que ces deux suites admettent un maximum?
La plupart des suites bornées n'en ont pas! Ex: Un = 1 - 1/n est croissante et majorée donc convergente (vers 1), pourtant elle n'atteint jamais sa limite, donc elle n'admet pas de maximum.
Donc par quel mot faut-il remplacer "Max" ici?
{x | n, x Un} {x | n, x Vn}
borne sup (Un) borne sup (Vn)
Contexte :
Un:
Vn:
avec :
-lim Un (n+
) 
+
-lim Vn (n+) +
Je crois que pour les bornes sup, y a 2 écoles :
infini accepté, et infini refusé 
Remarque, ça n'a pas d'importance ici, puisqu'il faut que je précise un contexte qui convienne et ça suffit !
Merci de ton aide, tu peux m'aider pour la suite ?
{x | x3-x+1 = m} {y | y² 1}
C'est un truc du genre -1 m 1
Je t'en prie!
En fait le contexte n'est pas le bon, il n'est pas suffisant de dire que les limites de U et V sont différentes de l'infini, l'important ici étant qu'elles soient toutes deux bornées.
Or il existe des suites ne tendant pas vers l'infini et pourtant non bornées, comme le montre l'exemple de Un = n.(-1)n .
La question 2 est plus compliquée, je trouve qu'aucune valeur de m n'est possible en étudiant les variations de la fonction, qui est croissante jusqu'à -1/racine de 3, décroissante jusqu'à 1/racine de 3, puis croissante.
En effet, pour tout m, l'équation f(x) = m admet des solutions en-dehors de l'intervalle [-1;1].
Sauf erreur de ma part bien sûr.
Merci pour la précision des bornes
Par contre, je n'ai pas compris ça :
En effet, pour tout m, l'équation f(x) = m admet des solutions en-dehors de l'intervalle [-1;1].
Sauf erreur de ma part bien sûr.
As-tu fait un tableau de variations de f(x) = x^3-x+1?
Si oui fais une courbe approchée, tu verras bien que toute droite horizontale coupe la courbe en des points dont les abscisses sont parfois entre -1 et 1, mais jamais SEULEMENT entre -1 et 1:
on ne pourra donc jamais (pour aucun m) dire que dès que f(x) = m, alors x est nécessairement entre -1 et 1.
Cela signifie qu'il n'existe aucun m réel tel que l'ensemble de gauche soit inclus dans celui de droite, sauf si mon tableau de variations est faux bien entendu.
Ah mais oui, tu as entièrement raison, bien vu!!
J'avais conclu un tantinet trop vite sur ce coup-là!
Donc ça ne marche que pour m = 1.
Cela est une chose, mais ça n'explicite pas le problème !
{x | x3-x+1 = m} {y | y² 1}
{x3-x+1 = m | x² 1}
C'est ça ?
Ce que tu as écrit n'a pas de sens, vu que tu ne donnes pas de condition sur l'ensemble écrit après la flèche d'équivalence.
De toute façon, il s'agit plutôt d'une propriété portant sur l'ensemble des x tels que f(x) = m.
C'est ainsi équivalent à: .
Mais peut-être ton prof attend-il plutôt la condition finale sur m pour qe tel soit le cas, c'est-à-dire m = 1.
C'est ce qu'on a fait à la question 1, où on a fini par donner une condition explicite sur les deux suites U et V.
?
Non, lorsqu'on veut qu'un ensemble A soit inclus dans un ensemble B, cela peut aussi se formuler par :
.
Il s'agit donc bien d'une implication.
Ok, d'accord
On termine ?
Attention les yeux et les méninges :
{x |P(x) = 1} {aU0 + bU1 | a,b }
Je ne comprends rien du tout à celle-là
Oh ben d'après les notations, P est sans doute un polynôme et U0, U1 les deux premiers termes d'une suite!
Donc y a rien à dire, sauf que les racines réelles du polynôme P-1 sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers de U0 et de U1.
Non, U0 et U1 réels plutôt, mais a et b entiers.
Exemple : P(X) = (X-2,5)(X-5) + 1 = X² - 7,5X + 13,25
vaut 1 si et seulement si (X-2,5)(X-5) vaut 0, les solutions de l'équation P(X) = 1 sont donc r = 2,5 et s = 5.
Imagine que U0 = 0,5 et U1 = 2 , alors on peut dire que :
r = 1. U0 + 1.U1 (ici a = b = 1 sont entiers)
s = 2.U0 + 2.U1 (ici a = 2 et b = 2 sont entiers)
{x |P(x) = 1} {aU0 + bU1 | a,b }
a,b | P(aU0 + bU[sub]1) = 1
Contexte :
Un :
avec U0=4 et U1=2 par exemple.
ça me paraît tordu tout ça
Pas tout-à-fait, tu n'as pas dit que les seules racines de P - 1 sont de cette forme, mais juste qu'il en existait une!
Ce serait plutôt:
De plus, le contexte est double: on a un polynôme et une suite.
Enfin ne donne pas de valeurs à U et U1, dis plutôt que ce sont deux réels.
Merci pour tes remarques
Bon, ben je crois qu'on a fini, merci beaucoup pour ton aide précieuse 
Je vais essayer de le refaire seul, faut que je travaille ce genre d'exo !
Merci encore 
Enfin ne donne pas de valeurs à U et U1, dis plutôt que ce sont deux réels.
Puisque j'ai écrit que Un :
, il est inutilite de préciser que U0 et U1 sont des réels, non ?
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