bonsoir,
dans la démo de l'ouverture de l'intersection finie de parties ouvertes, on utilise le caractère fini de l'indexation en disant qu'il suffit de prouver pour l'intersection de deux ouverts : ça je suis d'accord.
mais pourquoi ne peut on pas raisonner de même pour une indexation infinie :après tout on fait une récurrence et au rang n, on a notre intersection de n ouverts qui est ouvert par HR et d'après l'étude au cas n=2 on déduit que l'intersection de n+1 ouverts est ouvert et cela prouverait pour une indexation sur N. pourtant c'est faux (cf intersection des ]-1/n,1/n[ indexée par N ...)
en fait je me suis déjà posé le problème : au niveau de la diagonalisation simultanée: si est une famille d'endo. de E (non nul de dim finie) alors il existe une base propre commune à tous les fi ssi (chaque fi est diagonalisable) & (les fi commutent deux à deux). bref je me souviens que mon prof avait dit qu'on ne pouvait pas le montrer par récurrence ce résultat quand I était infinie...
je rencontre donc un problème quant à l'utilisation d'un récurrence pour montrée un pté qui porte sur une famille indexée par un ens infini. mais j'avoue ne pas comprendre pourquoi la récurrence n'est pas faisable.
merci (et dites le si c'est pas clair)