Niveau Maths sup

inégalité à montrer via Cauchy-Shwarz

Posté par
machin 08-01-09 à 21:55

bonjour.
je suis bloqué devant cette inégalité à montrer utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
(a+b)(a+c)(b+c) >= 8(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) pour tous réels a,b et c.
Et merci infiniment.

Posté par re : inégalité à montrer via Cauchy-Shwarz 09-01-09 à 09:52

Bonjour,

Quand a = -b , tu obtiens 0 >= -8c (2a+c)(-2a+c) trivialement faux !

Posté par re : inégalité à montrer via Cauchy-Shwarz 09-01-09 à 16:45

Bonjour ;

Si les réels $a$ , $b$ et $c$ sont positifs je crois que l'inégalité est vraie _{sauf erreur bien entendu}

Posté par re : inégalité à montrer via Cauchy-Shwarz 09-01-09 à 17:47

En effet supposons $a$ , $b$ et $c$ positifs et notons $x=b+c-a$ , $y=c+a-b$ et $z=a+b-c$ .

$\fbox{1}$ Si le produit $xyz$ est négatif l'inégalité est triviale .

$\fbox{2}$ Sinon on a $x$ , $y$ et $z$ positifs et on peut écrire : $2\sqrt{xy}\le x+y$ , $2\sqrt{yz}\le y+z$ et $2\sqrt{zx}\le z+x$

et par produit on a $3$\fbox{8xyz\le8abc}$ et comme $2\sqrt{ab}\le a+b$ , $2\sqrt{bc}\le b+c$ et $2\sqrt{ca}\le c+a$

on a aussi par produit $3$\fbox{8abc\le(a+b)(b+c)(c+a)}$ _{sauf erreur bien entendu}

remarque :

L'égalité n'est réalisée que si $a=b=c$ .

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