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Inégalité de Cauchy

Posté par
robby3 12-09-08 à 21:30

Bonsoir tout le monde,
Dans le cadre de la démonstration de l'inégalité de Cauchy,que je rappelle ici:

\large \forall n \in N^*, \frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n} x_k\ge \(\Bigprod_{k=1}^{n} x_k\)^{\frac{1}{n}}
et le n-uplet (x_1,...,x_n) sont des réels strictement positifs.

Donc pour démontrer ceci,Cauchy a pris une partie A de N^* qui vérifiait certaines propriétés:
i)1\in A \\ ii)\forall n\in N^*,n\in A=>2n\in A \\ iii)\forall n\in N^*,n+1\in A=> n\in A


le but est de démontrer que A=N^* \\
on commence par montrer que 2^n\in A,pour n dans N.(ça OK,d'ailleurs si vous avez un moyen autre que celui proposer pour montrer que A=N^*,n'hésitez pas)
par contre aprés,dans une correction que j'ai,on me dit:
soit m\in N^*,on choisit n\in N tq m\le 2^n et alors i et iii montrent que m\in[1,2^n] inclus dans A.

et je comprend pas ce dernier point.

Merci d'avance de vos réponses

Posté par
carpedieminégalité de Cauchy 12-09-08 à 21:39

salut

d'après 1 et 2 pour tout n 2n A

d'après 3 2n-1 puis -2 puis -i   A
donc pour tout m   n tel que m<2n
donc m A
ce me semble-t-il

Posté par
robby3re : Inégalité de Cauchy 12-09-08 à 21:45

Salut,
j'ai pas saisi le:

Citation :
d'aprés 3 2^n-1 puis -2 puis -i\in A
???

ok pour le 2^n-1 mais aprés...je comprend pas l'interet....?!   

Posté par
carpedieminégalité de Cauchy 12-09-08 à 21:58

quand tu as 2^n alors tu as 2^n -1 puis 2^n -2 puis 2^n -3 .... d'après 3 donc tu as m

Posté par
robby3re : Inégalité de Cauchy 12-09-08 à 22:10

oula,en fait,je crois que j'ai rien compris.

on a 2^n\in A
(ça déjà c'était une indication que j'ai réussi à montrer)
ensuite que fait-on?

si j'ai saisi, on choisi un m dans N^* tel que m\le 2^n(Soit!je vois pas bien pourquoi déjà?!)
et aprés,faut montrer que m est dans [1,2^n]...ça c'est bon non?
car on choisi m tel que m\le 2^n et m dans N^* donc m\ge 1!

plus,je relis,plus j'ai l'impression qu'on montre rien...

je comprend quand tu me dis,si on a 2^n,on a 2^n-1...etc et donc m,ça ok!
mais ensuite,on dit quoi?
que comme [1,2^n] est dans A,m y est aussi et c'est fini?
poue etre franc,je suis perdu.   

Posté par
carpedieminégalité de Cauchy 12-09-08 à 22:18

tu conclus que pour tout n [1,2n] A
donc A =   *

Posté par
robby3re : Inégalité de Cauchy 12-09-08 à 22:29

ok.
par contre,je comprend toujours pas comment on utilise les propriétés de A pour dire ça?
Ah noooon!
d'accord!
c'est bon!
Merci Carpediem!   

Posté par
ottore : Inégalité de Cauchy 13-09-08 à 14:25

C'est pas un truc classique de convexité avec le log ?

Posté par
robby3re : Inégalité de Cauchy 13-09-08 à 15:01

Salut Otto, en fait j'ai eu ça en exo, c'est tiré du capes 2004 et le sujet spécifié qu'on ne devait pas utiliser les fonctions log et exp...

Posté par
robby3re : Inégalité de Cauchy 13-09-08 à 15:29

J'en reviens au sujet car la correction que j'ai,je ne comprend pas trop,je vous la livre:

Donc avec ce qui précéde, on a montré que A=N^*.

Citation :
On pose alors:
\rm \large \Delta_n=\{(x_1,...,x_n)\in R*+^n tq x_1=...x_n\} \\ \epsilon_n=R*+^n-\{\Delta_n\} \\ A=\{n\in N* tq \forall (x_1,...,x_n)\in \epsilon_n,\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n x_k \ge \(\Bigprod_{k=1}^n x_k\)^{\frac{1}{n}}\}

On a 1\in A et on a montré que 2\in A

Si n\in A et si (x_1,...,x_{2n})\in \epsilon_{2n},on pose:
\large x_1'=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n x_k et x_2'=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=n+1}^{2n} x_k
Alors:
\large \frac{1}{2n}\Bigsum_{k=1}^{2n}x_k=\frac{x_1'+x_2'}{2}\ge \sqrt{x_1'+x_2'}
Donc \large \frac{1}{2n}\Bigsum_{k=1}^{2n}x_k\ge \(\Bigprod_{k=1}^{2n} x_k\)^{\frac{1}{2n}} avec égalité ssi \rm x_1=...=x_n,x_{n+1}=...x_{2n} et x_1'=x_2'

Donc 2n\in A

Ensuite,
Si \large \rm (n+1)\in A et si (x_1,...x_n)\in \epsilon_n on pose: \\ x_{n+1}=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}x_k alors,on a
\rm \large \frac{1}{n+1}\Bigsum_{k=1}^{n+1} x_k=x_{n+1} et (x_1,...,x_{n+1})\in \epsilon_{n+1} d'ou x_{n+1}>\(\Bigprod_{k=1}^{n}x_k\)^{\frac{1}{n+1}}.x_{n+1}^{\frac{1}{n+1} d'ou n\in A
Donc au final A=N^p d'ou l'inégalité de Cauchy
....


Donc en fait,déjà je comprend pas le raisonnement...
on montre que n est dans A puis n+1 aussi,2n....je comprend pas trop voire pas du tout comment tout ça s'emboite pour montrer l'inégalité de Cauchy....
Si vous pouviez m'éclairer!
Merci d'avance

Posté par
robby3re : Inégalité de Cauchy 14-09-08 à 00:51


une idée?

Posté par
robby3re : Inégalité de Cauchy 14-09-08 à 12:18

est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer en détail le raisonnement s'il vous plait,parce que je comprend pas bien du tout cette correction?!   


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