Bonjour,
Ax est-il constant?

Oui désolé, c'est pour un x de H (H Hilbert) fixé.
De plus A est hermitien et idempotent(A^2=A)

euh non en fait A est juste hermitien

Désolé je me suis embrouillé ,le x n'est pas fixé, on raisonne dans le cas général.
En fait, mon probleme initial est le suivant :Soit A un opérateur hermitien
x, |<Ax,x>| <= ||Ax|| ||x|| par C-S
<= ||A|| ||x||² par continuité de A

Or j'ai déjà une inégalité : |<Ax,x>| <=  ||x||²
Je voudrais déduire de cela que : ||A|| <=

Mon raisonnement est le suivant :
on sait que ||A|| est la plus petite cste k tq : ||Ax|| <= k ||x|| par continuité mais il faudrait encore que ||Ax|| soit la plus petite cste k tq :
|<Ax,x>| <= k ||x|| par C-S.
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider? merci

Désolé je me suis embrouillé ,le x n'est pas fixé, on raisonne dans le cas général.
En fait, mon probleme initial est le suivant :Soit A un opérateur hermitien
x, |<Ax,x>| <= ||Ax|| ||x|| par C-S
                              <= ||A|| ||x||² par continuité de A

Or j'ai déjà une inégalité : |<Ax,x>| <= ||x||²
Je voudrais déduire de cela que : ||A|| <=

Mon raisonnement est le suivant :
on sait que ||A|| est la plus petite cste k tq : ||Ax|| <= k ||x|| par continuité mais il faudrait encore que ||Ax|| soit la plus petite cste k tq :
|<Ax,x>| <= k ||x|| par C-S.
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider? merci

On s'en sort avec la définition de la norme subordonnée de A = sup ||A*(x/||x||)||

Donc s'il y a un autre majorant de cette quantité (delta), il est forcément plus grand (au sens large) que le sup...CQFD

Désolé je ne comprends pas... Pourrait tu détailler? C'est quoi la norme subordonnée?
Merci d'avance!

Ok pour la norme subordonnée,je viens de voir ca sur wiki (je connaissais seulement l'appelation norme d'operateurs bornés..
Mais je ne comprends toujours pas. On a:

|<Ax,x>| <= ||A|| ||x||²
|<Ax,x>| <=   ||x||²

je ne vois pas en quoi le définition de la norme subordonnée intervient.

OK, je saisis le problème, je suis allé trop vite en besogne, et je n'avais pas vu que la matrice était hermitienne :S

Dans ce cas, il faut démontrer que A=sup{ |valeur propre| de A} en se plaçant dans une base orthonormée qui diagonalise A (ça se fait vite)

Ensuite, maintenant, si on suppose que delta < A alors il suffit de prendre un x du sous espace propre associé à la + forte valeur propre (en module) et montrer une contradiction.

Pardon, c'est |||A|||=sup{ |valeur propre| de A} et pas A=...

J'oubliais, il faut interpréter le |<Ax,x>| comme |tX*A*X|, pour démontrer le premier point, en utilisant le fait qu'un produit scalaire ne dépend de la base orthonormée dans laquelle on se place.

Merci bien pour tes reponses! Cependant A est un operateur sur un Hilbert de dimension finie ou non donc je pense pas que cs soit la bonne facon de proceder ?

Je ne vois pas où les souci,

A est à symétrie hermitienne donc tA=A
On peut diagonaliser A dans IR avec des valeurs propres réelles.

Alors t(X)*A*X = tX*tP*D*P*X et en posant Y=tX, il vient tXAX=tYDY où D est une matrice diagonale à coefficients réels

En développant le calcul, en écrivant que Y=(y1,y2,...,yn) alors il vient


Or, si on prend y dans le sous espace propre engendré par la + forte valeur propre (en valeur absolue), il y a égalité, ce qui prouve que , et que si on dispose d'un delta, il est clair que ce delta est >=||A|| car sinon on il suffit de prendre y (càd, on prend x=tPY) dans le sous espace propre engendré par la + forte vp (en valeur abs) pour arriver à une contradiction.

PS : tA = transposée conjuguée de A

Désolé pour mon erreur de notation, dans la somme, ce sont des yi, pas des xi :/

Je comprends et te remercie mais j'ai quand meme un doute car j'ai l'impression que de parler de matrice(et donc tout ce qui va avec comme la transposée..) n'a pas de sens en dimension infinie.Par exemple on va pas parler de transposée d'une matrice A mais de l'adjoint d'un op A...Je suis dans le cadre de l'annalyse fonctionelle et non dans celui de l'algebre lineaire.
Je me trompe peut etre!

On n'est pas en dimension finie ? (cf post précédent)

Sinon effectivement, ce raisonnement tombe à l'eau.

oui c'est ce que je disais dans mon avant dernier post! (Désolé j'aurai du le préciser avant!)