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Inéquation du second degré | Deux inconnues
Bonjours, aujourdhui je me bat avec ceci:
Pour tout entier naturel a, on définit les propositions suivantes:
P(a) : (Pour tout x appartenant à R, X² + 2ax + 3 >= 0) => (Pour tout x appartenant à R, x² +2x +3 >= a)
Montrer que la proposition P(a) est vraie quel que soit l'entier naturel a.
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Voila pour l'énoncé. Je ne sais pas trop par où commencer en fait.
Déja ce qui me semble suspect, c'est que pour tout x appartenant à R, implique que X peut être négatif, et avec un nombre trop grand dans le négatif la proposition ne peut pas être vérifié, pour peu que a soit trop petit. Et donc, il faudrait determiner a pour chaque cas de figure?
c'bizare quand même.
J'ai de gros problème de raisonnement en math, en fait...
Merci d'avance pour votre aide 
Bonjour.
La première partie de la proposition signifie que x² + 2ax + 3 possède : aucune racine réelle ou bien une racine double.
Calcule son discriminant.Tu en déduiras les valeurs de a concernées.
Oui mais ils disent "pour tout entier naturel a", donc quelque soit a, cette partie de la proposition doit-être vrais, non?
salut
puisqu'on doit demontrer que P(a) est vraie quel que soit l'entier naturel a.
donc il faut diviser la reponse en deux parties car un entier naturel s'écrit a=2k(paire) et a=2k+1 impaire
alors je déduis que soit:
a) a = 1/24
b) a = 0
comme a est un entier naturel, a ne peut être égal qu'a zero.
Il y a aussi le cas a = 1 à regarder.
Pour a > 1, le polynôme x² + 2ax + 3 possède deux racines, donc, change de signe. Cela signifie que la prémisse est fausse pour a > 1. Comme (Faux) 
(vrai) est vrai, on a bien :
pour tout a dans IN, P(a) est vraie.
Donc, si on suppose la première proposition de l'implication comme étant vraie, quelle(s) valeur(s) peut prendre a?
J'ai une course a faire, je reprend mes méditations mathématique dans la soirée, en tout cas merci a tous pour votre façon très pédagogique de faire avancer les problèmes
Donc, si on suppose la première proposition de l'implication comme étant vraie et au vue du discréminant a peut prendre n'importe quel valeur entière supérieur ou égale à 3. Ce qui autorise par ailleurs deux racines.
ah, et je m'exuse :s
Petite correction de l'énoncé mal recopié:
P(a) : (Pour tout x appartenant à R, X² + 2ax + 8 >= 0) => (Pour tout x appartenant à R, x² +2x +3 >= a)
Mais justement,
si on suppose la première proposition de l'implication comme étant vraie
qu'est-ce que cela signifie pour le discriminant??
Je ne comprend donc pas.
Serait-il possible de reprendre depuis le début?
Même en suivant vos indications, je me trompe, et je ne vois pas où vous voulez en venir.
Ce qu'on veut c'est montrer
P(a) : (Pour tout x appartenant à R, X² + 2ax + 8 >= 0) => (Pour tout x appartenant à R, x² +2x +3 >= a)
est vrai pour tout entier naturel a. Mais si on on cherche des valeurs de a pour lequels P(a) est vrai cela signifie que que la premiere proposition est fausse, non?
Et (faux => vrais) est vrais? C'est un peu flou pour moi. :s
Toutes mes excuses si je suis long à la détente.
Bon, on va faire les choses dans l'ordre.
On va noter:
A=(Pour tout x appartenant à R, X² + 2ax + 8 >= 0)
B=(Pour tout x appartenant à R, x² +2x +3 >= a)
On veut montrer que:
(A => B) est vrai
Pour cela, on va distinguer deux cas:
-A est faux
Dans ce cas, pas de problème car si A faux alors quelque soit B:
(A => B) est vrai
(Donc finalement ce cas n'a pas trop d'intérêt)
-A est vrai
Dans ce cas, il faut montrer que B est vrai également car si A est vrai la seule façon d'avoir (A => B) vraie est que B soit vrai.
Il faut donc montrer que:
Si A est vrai alors B est vrai.
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Ainsi, en supposant A vrai, quelle valeur a 
et quel est son signe??
Pour A vrais
= 4a² - 32
a est un entier naturel donc, on a soit:
( < 0) => (a <= 2) => A faux
Ce qui ne nous interresse pas vraiment en fait.
soit:
( > 0) => ( a >= 3)
Ensuite on résou A avec x = et on determine a.
Ca tiens la route?
Pour que ton trinôme du second degré soit toujours positif, il faut qu'il ait :
soit aucune racine
soit une racine double.
Ces deux cas se résument en : 
0
Or, = 4(a² - 3). Il sera négatif si a = 0 ou a = 1
Donc, il ne te reste qu'à regarder la proposition de droite dans ces deux cas.
Si a > 1, la proposition de gauche est fausse, donc, l'implication générale est vraie.
Je vois, je comprend mieux!
Par contre on veut que la proposition de gauche soit positive OU égale à zero il me semble. Il y a le symbole 'supérieur ou égal'.
cf; "Pour que ton trinôme du second degré soit toujours positif, il faut qu'il ait :
soit aucune racine
soit une racine double."
Cette racine double fera que le trynôme sera égale à zero, et ne sera donc pas positif. Ce qui n'est de toute façon pas demandé il me semble, comme dit au debut de ce post
L'énoncé stipule bien " 
". Donc le cas de la racine double est inclus.
Cependant, comme ici a est entier, ne peut être nul.
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