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injection surjection

Posté par
log3506 13-09-09 à 11:50

Bonjour à tout le monde,

J'ai un problème à un exercice de maths. Voici l'énoncé:

Soient E et F deux ensembles et f:EF
a) Montrer que f est injective, si et seulement si, elle admet un "inverse gauche" c'est a dire une application g: FE telle que gof = IdE
b) Montrer de meme que f est surjective si et seulement si elle admet un "inverse à droite" c'est a dire une application g : EF telle que fog = IdF

Sincerement je ne comprends pas... je suis perdu.

Merci par avance de votre aide.

Posté par
log3506re : injection surjection 13-09-09 à 14:04

Quelqu'un peut-il m'aider?

Posté par
Camélia Correcteurre : injection surjection 13-09-09 à 15:25

Bonjour

a) Supposons que g existe. Alors

f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2))\Longrightarrow x_1=x_2
donc f est injective

Réciproque: On suppose que f est injective. On choisit a dans E et on définit g de la manière suivante:

Si y\in f(E), on pose g(y)=x où x est l'unique antécédent de y par f et sinon, g(y)=a.

Vérifie que tout marche et essaye le cas surjectif

Posté par
log3506re : injection surjection 13-09-09 à 15:59

Je ne suis pas sur d'avoir tres bien compris la réciproque mais je vais essayer avec ce que vous m'avez donné
Merci beaucoup
PS:j'ai réussi a comprendre la premiere partie avec votre explication merci


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