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Injectivité et surjectivité
Bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice :
" Soient E, E', F, F' quatre ensembles, u appartient à F(E',E) et v appartient à F(F,F') deux applications.
On considère l'application 
: F(E,F)
F(E',F')
f 
vofou
Montrer que si u est surjective et v injective alors est injective"
et maintenant le début de ma réponse :
Soient x et y appartenant à 
,
(vofou)(x)=(vof)(u(x))= v(f(u(x))
Posons X= f(u(x)) et Y= f(u(y))
Comme v est injective alors v(X) = v(Y) 
X=Y
donc v(f(u(x))=v(f(u(y)) f(u(x)) = f(u(y))
Mais à ce stade je me trouve bloquée. Je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse "u surjective".
Ma réponse est-elle juste pour le moment ? Comment puis-je achever ma démonstration ?
Bonsoir 
Soit (f,g)
F(E,F)2 tel que (f)=(g). Alors v o f o u = v o g o u.
Soit xE; par surjectivité de u, on sait qu'il existe x'E' tel que u(x')=x.
On a alors (v o f o u)(x') = (v o g o u)(x') d'où v(f(x))=v(g(x)) et par injectivité de v : f(x)=g(x).
Cela démontre que f=g et donc que est injective.
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