Pour le a) je ne pense pas que ce soit la bonne méthode. Fais une étude de fonction standard et regarde (en fonction des variations de f) où peut arriver que f(x) = f(y).

b) Oui en effet ça répond à la question.

Salut tringlarido, merci pour ta réponse,
pour le a), je ne dois pas faire d'étude de fonction car je dois en faire une pour la suite de mon exercice. Donc, c'est pour cela que j'ai pensé à factoriser
pour le b), je ne vois pas avec la DOUBLE inclusion

b) Oui. Pardon la fonction est continue donc son image est un intervalle. Il suffit de trouver des points pour lesquels -1 et 1 sont atteints ce qui ne devrait pas être très compliqué.

Pour le a) si on pose g(x) =  1/x + x. Il suffit de résoudre g(x) = g(y). Tu peux faire une étude de g sur [1;+[ si c'est permis.

   Bonsoir,

  f(x) = 2x/(1+x²). Remarquez d'abord que: pour tout x€R, 1+x²>=1>0, donc, le domaine de définition de F est :
                    Df=R

a) Votre méthode était très bonne.
   2x/(1+x²) = 2y/(1+y²)  <=> 2x(1+y²)=2y(1+x²).
                          <=> 2x-2y = 2xy²-2xy².
                          <=> 2(x-y)[1-xy]=0
                          <=> x=y ou xy=1.
    C'est terminé.
b) Si vous avez déjà prouvé que:
                   2|x|<= 1+x², vous obtenez:
                   2|x|/(1+x²) <= 1,  d'où:
                    -1 <= 2x/(1+x²) <= 1
   f(x)€[-1;1], c'est à dire: f(R)C [-1;1].
  Réciproquement, pour tout y€[-1;1],vous voulez savoir si y a un antécédent par f, ce qui vous amène à résoudre l'éqution:
                      
                   2x/(1+x²)=y   (1).
   (1) <=> 2x=y+x²y,
       <=> yx²-2x + y = 0.
le discriminant réduit est:  D'=1-y².
  y€[-1;1] par hypothèse, donc l'équation (1) a deux racines x1 et x2, ce qui veut dire que y€F(R), donc [-1;1] C f(R).
Je vous laisse terminer.
N.B. f est une surjection de R sur [-1;1], mais elle n'est pas injective.

        Cordialement.

Merci beaucoup pour vos aides qui m'ont été très précieuses
Bonne soirée et merci encore à vous

Bonjour

Bienvenue sur l'île, galois
l'usage veut qu'on s'y tutoie tous

Bonjour, j'ai encore une petite question:
je voudrais montrer de 2 façons que la restriction de f a g: [-1;1]-> [-1;1] est une bijection.
On peut étudier ses variations ou utiliser les questions précédentes: on sait que f()=[-1;1], donc f réalise une surjection de [-1;1] dans . Mais cela suffit il pour dire que g est surjective. Et pour l'injectivité? il faudrait montrer que f(x)=f(y)x=y, mais d'après la question a, on avait trouvé 2 x possibles à cette équation?
merci. Bon dimanche

  Bonjour,

  Il faut reprendre l'équation:
              2x/(1+x²)=y   (1).
  Si y=0; x=0, c'est immédiat.
  Pour y non nul: (1) <=> yx²-2x+y=0    (2)
(2) a deux racines:
            x1=(1-rac(1-y²))/y  et x2=(1+rac(1-y²))/y.
       Pour y=1: x1=x2=1; g(x1)=1
    Pour y=-1:  x1=x2=-1. g(x1)=-1.
    Pour y€]-1;0[U][0;1[:  x1 et x2 sont distinctes:
    Remarquez que: x1.x2=1, ce qui montre que x1 et x2 sont inverses l'une de l'autre. En particulier, elles sont de même signe.

  a) Si 0<y<1:  0<x1<1 et x2>1.  x1€]0;1[ et g(x1)=y.
  b) Si -1<y<0: x2<-1  et -1<x1<0. x1€]-1;0[ et g(x1)=y.
  Dans tous les cas:
    Pour tout y€[-1;1], il existe x unique tel que: g(x)=y.
      Pour y=0, x=0.
      Pour y non nul, x=1-rac(1-y²))/y.

    Cordialement.