Bonjour,
Je ne suis pas sur que ta question 1 soit correcte telle qu'elle est formulée. Pour l'unicité il me semble qu'il manque des informations sur A et B, par exemple factoriel...Sinon ca ne marche pas....Parce que l'idéal annulateur d'un élément n'est pas forcément principal....

Bah si, mon enoncé est comme ca... Pfff la galère

Ben c'est pourtant faux....l'uncité peut etre mise en defaut par exemple prend
Alors X-1 est un annulateur irreductible de 1, tout element de A[1]=A s'ecrit bien sous la forme a avec a dans A mais cette erciture n'est pas unique, par exmeple

Bonjour vous deux.

Rodrigo, il me semble que ton dernier exemple montre simplement que dans la décomposition n'est pas unique.

Mais j'ai la même réaction que toi : il manque certainement un détail. Je pense au raisonnement suivant.

L'existence de l'écriture en combinaison linéaire à coefficients dans A des 1, b, ... , b^d-1 de toute puissance de b se fait par récurrence.

Pour l'unicité, avec a_d-1 = a'_d-1 = 1 :

.

Pour conclure à l'unicité de l'écriture, il faudrait rajouer que P est de degré minimum.

Merci, et pour les autres questions, vous avez des idées?

Bonjour, Non meme de degré minimal ça ne suffit pas (regarde mon contre exemple, le polynome est de degré 1 c'est minimal!!)..Factoriel me semble marcher.
Quant a mon exemple je maintient qu'il est bon. Si l'unicité de l'ecriture n'est pas verifée dans A, comment pourrait elle l'etre dans A[b], de plus si l'on prend b=1, alors A[b]=A, et alors l'unicté de l'ecriture n'est encore une fois pas verifiée...

Pour le debut de la 1) tu peux remarquer que et procéder par récurrence.

Pour le 2) si A est un corps l'ecriture est la unique puisque k[X] est principal si (et seulement si en fait) k est un corps. Du coup tu a une base de A[b].

Pour la 3) il te suffit de noter que leur diemnsions sont egales

Pour l'exo 2) remarque que P(f(b1))=f(P(b1))

Rodrigo : tu as raison pour ton exemple.

Alors, en supposant factoriel, l'unicité de l'écriture viendrait alors de l'hypothèse d'irréductibilité de P ?

ok, je vais essayer de rédiger ca...merci!

Oui car comme tu l'a écrit si l'on avait un polynôme de degré d-1 (au plus qui annulait P) noté Q alors dans B[X] qui est factoriel puisque B l'est, alors P et Q aurait une racine commune et comme Q et P sont dans A[X] il s'en suivrait que le PGCD de P et Q divise P (ca bien sur) mais serait non trivial puisque il a une racine dans B[X], ce qui est incompatible avec l'irréductibilité de P

Bien vu !

C'est drôle comme cette théorie, si simple dans le cas des corps grace au fait que l'idéal engendré par P est principal, devient épouvantable dans le cas des anneaux.

Pour l'exo 1 question1, c'est une récurrence sur i qu'il faut faire?

Un polynome irréductible sur un anneau intègre est primitif.P(b)=0 si b n'est pas dans A
A[b] est une extension simple de de A.
A[b] est donc A-isomorphe à A[X] il me semble que cela résout l'unicité de l'écriture;

Je devais être bien fatigué pour lire si mal le texte;
confondre une extension trancendante et une extension algébrique est plus qu'impardonable
toutes mes excuses , ne pas lire voire détruire ma précédente réponse.

Il me semble en effet que l'hypothèse de factorialité semble intérresante
Dommage que l'on ne soit pas dans un anneau euclidien ...si A était un corps...

Bonjour,

Si  P  irréductible unitaire de degré  d annule  b . Supposons donc 2 écritures disticntes alors on obtient  T  de degré < d  qui annule  b  mais n'est plus forcément unitaire.  SOit  Q  de degré minimal (et pas 0) s'annulant en b :

Q(X)= u_eX^e+....+u₀  où  e < d .

Il existe  y  dans  A  une puissance de   u_e  telle que

yP(X)= Q(X)D(X)+ R(X)  où  degré (R) < deg(Q) (division euclidienne dans les anneaux) D et R encore à coefficients dans A . Alors  R(b) = 0 donc  R = 0 . En fait si P estsupposé irréductible dans  Frac(A)[X] l'unicité s'ensuit (ce qui est vrai en particulier quand A est factoriel)

ensuite c'est trivial : deux espaces vectoriels sont isomorpshes si et seulement si ils ont même dimension (en dimension finie).
Et le 2) tu appliques  f  a ta relation polynomiale .

Bonjour

C'est Raymond qui m'a signalé ce topic. Moi non plus je ne sais pas démontrer l'unicité si l'anneau n'est pas factoriel, mais je n'ai pas de contrexemple; celui de Rodrigo ne me convainc pas, tout simplement parcequ'il me semble que le problème se pose pour b n'appartenant pas à A.

Voilà un exemple quand  A n'est pas factoriel.

A = Z[ i 3^1/2]  ,  B = Z [ (1+i 3^1/2)/2]

P(X) = X²+X+1  s'annule en  b = (1+i 3^1/2)/2

et bien sûr  0 = 1+ i 3^1/2 -2 b

Merci lolo217

De rien...

Après reflexion: le polynôme de degré 1 annulé par b n'est pas unitaire!

Certes , mais on a bien un polynôme irréductible sur A , de degré 2 et unitaire qui s'annule en b !

Certes, certes... J'aurais vraiment aimé voir deux polynômes unitaires irréductibles différents qui annulent le même b!

Y a qu'à demander :  même exemple d'anneaux et de b  même P  et l'autre tu prends P(X)- 2X + 1+i 3^1/2 .

J'aime mieux ça! j'espère ne pas y revenir...

Après on pourrait demander s'il existe deux unitaires irréductibles ...et de degré différent mais comme c'est moi qui ai l'idée...je te laisse trouver un contre exemple

Oui, j'y avais pensé, mais je n'avais pas osé en parler! je crois que notre exemple d'anneau pas factoriel est un peu trop petit pour être à l'aise... mais je regarderai encore!