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interpolation de lagrange.

Posté par anto (invité) 30-10-07 à 19:09

Bonjour,
Je suis actuellement sur un DL de vacance sur l'interpolation de Lagrange.
Il me reste une question que je ne parvient pas à faire ( qui pourtant me parait simple ).

Il s'agit de montrer le théroème d'interpolation dans le cas où (y0,y1,...,yn)=(0,0,...,1,0,...,0)
Autrement dit, montrer que :
Il existe un et un seul Li Kn[x] / Pour tout j [|0,n|] Li(xj)=Symbole de Kronecker indice ij.

Notre prof nous a donné une indication : Exploiter en priorité les relations Li(xj)=0 pour ji en termes de racines.

PS : Notre théorème d'interpolation est énoncé sous la forme il existe un et un seul polynome P   Kn[x] / pour tout i   [|0,n|] P(xi)=yi.

Merci pour votre aide potentielle.

Posté par
donaldosre : interpolation de lagrange. 31-10-07 à 00:43

Ici, le cas est simplifié, il est clair que \forall x_j\neq x_i, x_j est racine du polynôme interpolateur, d'où l'écriture :

P_i(x)=\frac{\prod\limits_{j=0 \\ j\neq i}^n \left(x-x_j\right)}{\prod\limits_{j=0 \\ j\neq i}^n \left(x_i-x_j\right)}

Ce polynôme étant de degré n, et les racines étant imposées par les y_j=0, j\neq i, le seul degré de liberté restant est le coefficiant dominant. Ce dernier est imposé par la condition y_i=1, d'où l'unicité.

Posté par anto (invité)re : interpolation de lagrange. 31-10-07 à 01:08

Merci pour ton explication Donaldos.

Posté par
shinigami21une autre question 21-12-09 à 21:10

comment calculer Sm(x)=la somme de 0 jusqua n de (Xi puissance m) *(Pi(0))???

merci


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