Bonjour,

J'ai peur que cette méthode ne mène nulle part... (mais peut-être que je me trompe).

Connais-tu le résultat qui classifie les polynômes tels que :
  
Les polynômes qui prennent des valeurs entières sur les entiers ont une forme très particulière.

Une fois ce résultat acquis, il faudrait essayer d'adapter la méthode d'interpolation de Lagrange avec ces polynômes (et non pas adapter le polynôme d'interpolation de Lagrange).

A non justement je ne connais pas ce résultat... Tu peux me donner un lien ou m'expliquer?

D'ailleurs c'est une des questions suivantes: caractériser les polynômes qui envoient dans .

Merci

Si l'énoncé est dans cet ordre là, il faut changer de stratégie ! Par contre je ne vois pas comment faire...

Pour ton premier message, je te propose une méthode par récurrence (si toutefois on oublie l'hypothèse "de degré minimal"). On peut décomposer l'énoncé comme ceci :

1a) étant donné un entier, construire un polynôme de degré s tel que :


1b) étant donnés construire un polynôme de degré s tel que :


1c) Montrer que cette méthode ne donne pas toujours le polynôme de plus petit degré.

Remarque :
Cette méthode ne donne que des polynômes à coefficients entiers mais il existe des poloynômes à coefficients rationnels et à valeurs entières sur les entiers comme par exemple le polynôme :

pour le 1)a), je donnerais le polynôme L_i
L_i(x) =(x-k)/(i-k),k de 0 à s et ki

Du coup pour 1b) c'est la somme des k_i*L_i : c'est pas le polynôme de Lagrange ça justement?

Pour la question 1a) oui ça va être un polynôme de Lagrange (cependant je ne comprends pas ta réponse). Reste à vérifier qu'il est bien à valeurs entières sur les entiers (la question n'était pas posée dans mon énoncé).

Pour la question 1b), ce ne sera plus un polynôme de Lagrange !

oui, j'ai mis n'importe quoi... je me suis trompée.
merci pour ton aide, jvais faire ça sur feuille.

Une idée qui marche aussi pour retrouver Lagrange c'est de travailler dans la base 1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2) etc
plus generalement pour P(ai)=bI on travaille dans la base
1, X-a1, (X-a1)(X-a2), (X-a1)(X-a2),(X-a3),  (X-a1)(X-a2),(X-a3)(X-a4), etc
cela permet de résoudre les interpolations les unes apres les autres
P(a1)=b1
P=b1.1
Pour P(a1)=b1 et P(a2)=b2 on cherche
on trouve
Pour P(a1)=b1 et P(a2)=b2  et P(a3)=b3 on cherche
on trouve etc
on peut rajouter des interpolations autant que l'on veut, le début du calcul ne change pas. C'est un algorithme de Newton utilisé en calcul formel.

En plus il va permettre de résoudre le pb posé
P(0) =k0
on prends P=k0
P(0) =k0 et P(1) =k1
on prends P=k0+(k1-k0)X
jusque là pas de pb
P(0) =k0 et P(1) =k1  et P(2) =k2
on cherche


Donc est un entier
et est un entier divisé par 2 mais ce n'est pas grave car
X(X-1) est pair pour tout X entier

et cela continue à l'étape suivante puisque X(X-1)(X-2) est pair et divisible par 3 pour tout X entier

pour bien écrire la fin il faut "récurrer"

A peine poster je vois une faute de frappe a1 au lieu de b1

cela permet de résoudre les interpolations les unes apres les autres
P(a1)=b1
P=b1.1
Pour P(a1)=b1 et P(a2)=b2 on cherche
on trouve
Pour P(a1)=b1 et P(a2)=b2  et P(a3)=b3 on cherche

la difficulté est de montrer que le produit de n entiers consécutifs est toujours divisible par n!
cela semble vrai mais il faut trouver l'argument

ma dernière question trouve sa réponse dans  une base d' exercices en ligne, en libre acces, avec de l'aide et des methodes : BRAISE
choisir le chapitre algèbre linéaire puis les exercices par mots clefs, le theme : Espaces de polynômes
puis valider
tu obtiens des tas d'exercices avec notamment un exercice, le 9.11, dont le but est d'étudier les polynômes en question.

Trop tard apaugam... Mon oral c'était hier. Et c'était presque ce que tu as dit: utiliser une autre base 1, X, [X(X-1)]/2!, [X(X-1)(X-2)]/3!,...

Il est facil de montrer que ce sont toujours des entiers (si X entier biensûr!) [(X-1)(X-2)...(X-n)]/(n+1)!= n+1 parmi X (coeff binomiaux)

Merci quand même!