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Intersection, addition de sous-espaces vectoriels.
Bonjour,
Comment calculer la base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels ?
Je connais G = Vect{(1,2,-1,-2), (2,3,0,-1)}
Ces deux vecteurs forment une base de G et dim G = 2
H = Vect {(1,0,-1,1), (0,1,0,1), (0,1,1,1)}
Ces trois vecteurs forment une base de H et dim H = 3
Déterminer la base de l'intersection F
H
l'addition F + H
Merci
Pour l'addition, je pense avoir trouvé,
G = Vect{(1,2,-1,-2), (2,3,0,-1)}
H = Vect {(1,0,-1,1), (0,1,0,1), (0,1,1,1)}
H+G = Vect {(1,0,-1,1), (0,1,0,1), (0,1,1,1),(1,2,-1,-2), (2,3,0,-1)}
Je ne sais pas pourquoi par contre, on a fait ça dans un exercice en classe...
Il faut montrer que la matrice représentant regroupant ces cinq vecteurs présente une position de pivot par ligne et par colonne, si ce n'est pas le cas on applique le théorème de la base extraite et on en déduit une base contenue dans H+G.
Je l'ai donc fait mais il y avait un vecteur en trop pour que ce soit une base. Je l'ai retiré et j'ai obtenu la base ci-dessous pour H+G.
La dimension est donc égale à 4.
Est-ce bon ? Par contre, pour l'intersection je ne sais vraiment pas...
Bonjour Dcamd,
Si dim (G + H)=4 alors dim (G
H)= 1
Trouver une base de GH c'est trouver un vecteur qui puisse s'écrire comme CL des vecteurs de la base de G et comme CL des vecteurs de la base H.
Le vecteur 
(4;3;6;7) répond à la question.
Bonjour Lexou1729
Merci beaucoup pour ta réponse. J'ai bien compris tout ce que tu as écris et j'y vois maintenant beaucoup plus clair grâce à toi.
Pour la somme, tombant sur une famille génératrice mais non libre, j'ai bien fait de retirer un vecteur ?
G et H sont des sev d'un ev de dimension 4 (quatre composante par vecteur).
Tu savais donc dès le départ que dim (G + H)
4
Les cinq vecteurs étaient donc nécessairement liés.
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