Salut, tu prends une famille de tribus sur un ensemble ,

et donc tu veux montrer que est une tribu.

1) pour tout , , donc .

2) Soit ,

ie pour tout , , donc ,

et donc ;

3) Soit une famille de ,

pour tout , on a (car pour tout n ),

donc .

Salut romu!
merci, j'ai bien compris.
j'ai une petite question qui suit, on me demande de calculer :
, et
(tribu engendré par la tribu , etc)

Danc chacun des cas, comme ce sont des tribus, il y a et son complémentaire cad .
Cas 1 :
C'est la plus petite tribu qui contient , donc elle contient aussi .


Cas 2 :
C'est la plus petite tribu qui contient et , donc elle contient aussi et .


Cas 3 :
C'est la plus petite tribu qui contient , et , donc elle contient aussi , et .


est-ce correct ?

pour le cas oui, pour le cas 2 et 3 je ne crois pas (ça grossit vite les tribus), n'oublie pas que c'est stable par intersection (dénombrable) et par union (dénombrable),

dans le cas 2, tu dois avoir des éléments du genre  , , ...

Dans le cas 2:


Il y a obligatoirement E, , A et B.
Comment on sait si "ça suffit", ou s'il "en manque" ?

ben faut faire toutes les intesections, les unions possibles, je ne sais pas si il y a un moyen de vérifier si on les a tous ou pas.

pour le cas 3, si je me souviens bien, il y a 42 éléments, on a du te donner cet exo pour te montrer que ça grossit vite, ça vaut peut être pas le coup (à part si tu as beaucoup de temps devant toi) de les chercher tous.

Je pense que tu peux te limiter aux deux premiers cas.

salut tout les eux!
H_aldnoer,dans ta question,tu voulais pas préciser que A,B,C formaient une partittion de l'univers de départ?

en fait dans le cas 3, il y a éléments.
il est dit que dans le cas généralt, il y a éléments.

justement H_aldnoer,ceci est vrai seulement (du moins je crois) si A,B,C forment une partition de Oméga(univer du possible)

avec l'hypothèse qu'a donné robby alors (que je salue au passage )

A,B et C forment une partition de E ça veut dire que et ?

euh oui mais c'est plutôt

oui, je me suis planté!
comment on trouve alors éléments dans le cas 3 ?

je sais pas mais il me semble que tu les as trouvé dans ton post de 13h51.

mais dans le cas 2 j'en trouve 6!

oui et j'en vois pas d'autres, seulement, il n'y a aucune raison de croire qu'il y a éléments, sans contredire ta formule.

Pour que ce soit le cas il faudrait que soit une partition de (et non ), et à cette condition-là tu aurais

et , donc on aurait bien 4 éléments.

Si {A,B} forment une partition de E, pourquoi ?
Car ?

oui et car .

donc dans le cas 3, on a par exemple

oui

Dans ce cas inutile de le rajouter car on a déjà B et C, non ?

ben disons qu'il faut dire ou , tu appelles cet ensemble comme tu veux, mais faut quand même signaler qu'on a cet ensemble.

Donc on a, si A,B et C forment une partition de E :


Mais donc non ?
Car si on a B et C on a l'union puisque c'est une tribu ??

non il faut mettre , c'est bien un élément de sigma(A,B,C) puisque comme tu dis on a l'union.

dans la théorie des ensembles,

on te dit que pour un ensemble E, on peut énoncer en extension tous ses éléments avec la notation suivante:

E={tous les élements de E}

et marque tous les éléments même si il y en a un qui est l'union ou la somme,... de deux autres éléments.

Je ne sais pas trop si j'ai compris, j'essaye pour :
il me manque quoi pour arriver à éléments ?
(toujours avec formant une partition de E)

les unions de deux éléments.

pourquoi uniquement 2 éléments ?

les unions de trois éléments coincident avec le complémentaire du 4e qui est déjà dans la liste. l'union des quatre éléments donne E.

Comme il y a 4 ensembles, on a 2 parmi 4 choix d'union de deux éléments possibles cad 6.
En rajoutant les 10 que l'on a déjà, on en a bien 16=2⁴ ?

voilà

il faut ici rajouter 2 parmi 5 choix possibles d'union de deux ensembles, ainsi que 3 parmi 5 choix possibles d'union de trois ensembles.

comment arriver au résultat général ?

on a déjà et .
puis on a les n éléments .
ainsi que les n complémentaires .

On en a donc 2n+2.

il faur rajouter
On a donc ?

oui donc sigma({A,B,C,D,E}) n'est pas égal à ce que tu dis.

je ne sais pas il faudrait voir quelles sortes d'ensembles tu rajoutes à chaque étape.

On prend toujours le cas ou les forment une partition de E.
On est d'accord qu'il y a déjà 2+2n éléments ?

oui

Ensuite on rajoute l'union de deux éléments, comme il y a n éléments, on a choix possibles ?

euh je crois que là tu va aussi compter A1 union A1....An union An... non?

et pourquoi ?

oui c'est vrai, quand on compte , on compte aussi les unions de n-1 éléments de , vu que pour tout on a .

En fait il ne faut pas compter les unions de n-1 éléments vu que non ?

oui c'est ça, juste que plutôt et que c'est pareil pour les autres .

Ok.
Mais je ne comprend pas pourquoi le nombre de choix possibles pour l'union de deux éléments n'est pas

parce que sauf erreur ce que représente ce nombre,c'est le nombre possible de permutation de deux objets parmis n.
Mais parmis ces permutations d'objets,dans le cas présent les "permutations" de ces objets sont des unions...;on peut compter la permutation de deux objets identiques...il faut préciser qu'on ne compte pas les unions d'objets similaires.

Je sais pas si c'est trés clair.
A bientot!

Remarque: Le nombre d'éléments d'une tribu sur un ensemble fini E est toujours de la forme . En effet, l'ensemble des parties est un groupe pour la différence symétrique , et toute tribu sur E est un sous-groupe de celui-ci => théorème de Lagrange

Vous vous plantez avec le 2n+2 car vous recomptez ces éléments. En effet si A,B,C,D forment une partion de E, alors .

Il faut compter les unions de 0 élément (uniquement l'ensemble vide), les unions de 1 éléments, ..., les unions de n éléments (uniquement E), ce qui donne .

voilà!!
Stokastik l'a dit plus clairement!
Merci!