Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Intersection sur une famille vide
Bonsoir à tous 
Un petit soucis avec une "observation" que j'arrive pas à observer... 
On se donne une catégorie A et une famille {ui:Ai->A} une famille (un ensemble) de sous-objets de A.
On nous définit alors l'intersection u:A'->A l'intersection de la famille si pour tout i il existe vi:A'->Ai tel que u=uivi et si tout morphisme B->A qui se factorise à travers tout les ui se factorise de manière unique à travers u également.
Jusque là, ça va. Là, où je comprends pas c'est quand il dit: "Obervez que l'intersection de la classe vide de sous-objets de A est A lui-même"... Comprends pas.
P.S: tout ça est traduit de l'anglais, c'est p'tet donc pas la terminologie française mais bon, on se comprend... 
La définition que j'ai des sous-objets (pour être sûre qu'on ait la même...) :
Soit
Ouais c'est en gros la définition que j'ai. Disons que lui, s'arrête à dire que f:Y->X est un sous-objet de A dès que quand f est un monomorphisme. Mais c'est la même chose en gros...
D'accord.
Bon, à moins que je ne dise des bêtises... :
satisfait les conditions nécessaires pour être l'intersection de la famille vide, en effet :
- , il existe
tq
--> vrai vu qu'une proposition "
blabla" est toujours vraie
- tout morphisme qui se factorise à travers tout les
se factorise de manière unique à travers
également :
Soit un morphisme qui se factorise à travers tous les
(c'est-à-dire : n'importe quel morphisme
, c'est toujours cette histoire de
), alors f se factorise à travers
:
. Et cette factorisation est bien unique (
).
PS : ils parlent de "l'intersection" d'une famille de sous-objets, est-ce qu'ils prouvent quelque part que cette intersection est unique au moins à isomorphisme près, ou quelque chose comme ça ? La flemme de regarder maintenant si c'est une conséquence directe de la définition.
Bonne nuit, en tout cas
Ah oui tiens. Bizarre, j'y avais pensé également mais pour moi, yavait un souchi... alors que non, yen a pas visiblement... 
Pour l'unicité, c'est triviale ici (vu que l'intersection se factorise via tous les u_i, on a facilement un isomorphisme avec un éventuel autre intersection...). Dtf, c'est toujours la même histoire avec ces trucs, ça marche un peu toujours parce qu'on a tout fait pour que ça soit le cas...^^
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac