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Niveau Maths sup
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interversion de somme

Posté par
comlich
31-12-08 à 14:58

Bonjour à tous. Je suis sur une démonstration par récurrence dans laquelle intervient une interversion de somme que je ne comprend pas du tout.
La propriété à prouver c'est Kp = \Bigsum_{i=\1}^{n-\1}\(p+i-1\\i\)J^{i} où J et K sont des matrices carrées d'ordre n, on sait par ailleurs que KJi = \Bigsum_{k=\ i}^{n-\1}J^{k}. Mon problème se trouve au niveau de l'hérédité et j'ai trouvé quelque part la réponse:
Kp+1=\Bigsum_{i=\1}^{n-\1}\(p+i-1\\i\)KJ^{i}
       =\Bigsum_{i=\1}^{n-\1}(\(p+i-1\\i\)\Bigsum_{k=\ i}^{n-\1}J^{k})
       = \Bigsum_{k=\0}^{n-\1}(\Bigsum_{i=\0}^{k}\(p+i-1\\i\))J^{k} (voici la ligne que je ne comprend pas du tout, j'aimerai savoir s'il vous plaît ce qui a été fait.
Pour la suite on montre par récurence que \Bigsum_{i=\0}^{k}\(p+i-1\\i\)=\(p+k\\k\).
Je vous remercie d'avance.

Posté par
nazzzzdaq
re : interversion de somme 31-12-08 à 16:51

Pourrais tu nous donner l'intégralité de l'énoncé?

Posté par
comlich
re : interversion de somme 31-12-08 à 17:10

On donne les matrices J et K.
1. Calculer, J2, J3, ... Jn.
2. Exprimer K en fonction de In J, J,.., Jn-1. En déduire que K est inversible et donner son inverse.
3. Pour i {0,...,n-1} exprimer KJj à l'aide des puissances de J.
4. En déduire que pour tout entier strictement positif p Kp=\Bigsum_{i=\1}^{n-\1}\(p+i-1\\i\)J^{i}
C'est seulement la question 4 qui me pose problème.
Merci d'avance.

interversion de somme



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