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Niveau Licence Maths 1e ann
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inverse unique?

Posté par
freddou06
18-10-09 à 09:59

salut
je travail sur l'anneau (Z/nZ , + , .) et je me demande ssi pour un element a de Z/nZ inversible, son inverse est unique..

je pense que oui mais je ne sais pas le demontrer..

une idée?
merci de votre aide!

Posté par
sclormu
re : inverse unique? 18-10-09 à 10:03

Salut, suppose que [x] (classe de x)  a deux inverses [y] et [z]. Ca veut dire que

x+y = 0 mod n
x+z = 0 mod n.

Si tu peux prouver que y=z mod n, ce sera fini.

Posté par
freddou06
re : inverse unique? 18-10-09 à 10:07

erf je voulait dire inverse associé a la multiplication ^^

Posté par
freddou06
re : inverse unique? 18-10-09 à 10:11

mais cest le mm principe en fait, montrer que si on a pour "a" un element inversible,

a.b = a.b'= 1(mod n)
ca implique que b = b' (mod n)

merci pour la piste

Posté par
critou
re : inverse unique? 18-10-09 à 10:18

Bonjour,

C'est vrai pour les inversibles de n'importe quel anneau, si je ne m'abuse.

Soit (A,+, .) un anneau, a un élément de A inversible, tel que ab=ba=1 et ac=ca=1 (b et c sont deux inverses de a)
Alors c=c(ba)=c(ab)=(ca)b=b --> c=b, l'inverse est donc unique.

C'est en fait vrai pour tout groupe. Si (G, .) est un groupe, on montre avec exactement la même démo que l'inverse (opposé) de tout élément est unique. La seule chose qui sert c'est l'associativité de la loi.

Sauf erreur...

Posté par
freddou06
re : inverse unique? 18-10-09 à 10:47

ok merci pour l'info



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