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Inversibilité , base et dimension .
Bonsoir everyone ;D ! J'ai un autre problème sur les bras :
Soit l'application u:->
définie par la relation u(
) . Montrer que u
GL() . On considère les sous-espaces vectoriels E={
,
} et F={
,
} . Déterminer bases et dimensions de u<E> et u<F> .
Bon courage !
En réalité , je ne vois pas comment montrer que u est inversible . Mais je PENSE à (-1,-1,-1) pour u<E> et (1,1,1) pour u<F> .
démontre que l'image d'une base par u est encore une base...
pour u<E>,n je ne pense pas qu'il soit de dimension 1
MM
Mais u est une application spéciale , qu'est-ce qu'il faut montrer pour montrer qu'elle est linéaire ?
D'accord mais alors qu'est ce que la linéarité de u nous apportera pour montrer qu'elle est inversible ?
rien (enfin si... une méthode plus rapide)... mais pour être dans GL, il est déjà indispensable d'avoir la linéarité... et ensuite la bijectivité... mais une chose à la fois !
Bonsoir MM désolé pour le retard mais j'ai pris deux vecteurs X et X' avec leur coordonnées respectives et deux scalaires
et 
puis j'ai réussi à trouver que u(.X + .X')=.u(X)+.u(X')
Mais comment utiliser cette linéarité pour montrer que u est inversible ?
Ok, alors pour prouver que u -dont on sait maintenant qu'elle est linéaire - est inversible, il suffit en effet de prouver que l'image par u d'une base est une base, comme te l'a expliqué Alain.
Tu peux donc calculer f(1,0,0) , f(0,1,0) et f(0,0,1) puis prouver que ces 3 vecteurs forment une autre base de l'espace.
Merci Tigweg(au fait c'est dommage cette petite erreur sur l'autre post) . Sinon quelqu'un pourrait me donner une piste pour la base et la dimension de u<E> et u<F> ?
bonsoir
tu peux établir assez aisément que l'image d'une base de E par u fournit un système générateur de u<E>
(c'est même une base si tu as montré avant que u est bijective)
et pour montrer la bijectivité, tu as des théorèmes de cours très intéressant lorsque l'espace de départ et d'arrivée ont même dimension et qu'on a affaire à une application linéaire...
MM
Oui ce que tu dis est vrai MM à propos des théorèmes sur les dimensions mais , même si j'ai réussi à les connaitre par mes propres moyens , nous ne les avons pas encore abordés en cours . Ça ne veut pas dire que je les ignore complètement mais souvent j'écris deux versions pour mes exos -celle en accord avec le cours qu'on fait en classe -celle qui est souvent plus efficace mais qui utilise des notions non vues en classe . Évidemment , la première est la plus embêtante car je dois me restreindre à notre cours actuel . Sinon est-il bon d'appliquer le même raisonnement pour u<F> ?
Bonjour
Sans aucune espèce de théorème! Montre que pour y fixé, l'équation u(x)=y a une solution unique!
! Merci MM , Camélia et Tigweg !
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