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inversibles
Bonjour !
Voici une petite démonstration qui me pose problème. Pourriez vous s'il vous plait m'aider à la compléter ?
Soit A = 
[i
2]={a+ib2 ; a,b
}.
Soit N:A
l'application norme définie par N(a+ib2 )=a²+2b²
1-J'ai montré que A était intègre sans problème.
2- Je dois montrer que : un élément x de A est inversible si et seulement si N(x)=1.
Dans un sens :
Je suppose que x est inversible.
Donc il existe y A tel que xy=1.
N(xy)= 1 
N(x) N(y) = 1 
N(x)=N(y)=1 car N(x),N(y).
Dans l'autre sens, je suppose que N(x)=1.
N(x)=1a²+2b²=1
Et je suis bloquée. Que pouis je faire pour arriver à x est inversible ?
Par avance merci pour votre aide
Elotwist
Bonjour.
Tu peux résoudre l'équation d'inconnues a' et b' : (a+ib).(a'+ib'
) = 1
Tu peux aussi, en faisant appel à l'intuition concernant les expressions conjuguées, calculer :
(a+ib).(a-ib
)
En calculant (a+ib2).(a-ib2) on trouve exactement a²+2b² mais en quoi ça démontre que x est inversible ?
N'existe t-til pas des méthodes pour résoudre a²+2b²=1 ?
Oui, mais comme tu supposes N(x) = 1, c'est gagné.
Il me semble effectivement, que l'on peut écrire ceci :
si a = 0, 2b² = 1 est impossible dans Z.
Donc a est non nul, donc a² 
1, donc 2b² = 0 et a = 
1.
La démonstration serat donc :
Supposons que N(x)=1 c'est à dire que a²-2b² = 1
Soit x A donc x=a+ib2
On a x.x-1= (a+ib2).(a-ib2)
donc x.x-1=a²-2b² =1.
Donc x est inversible
C'est plutôt a²+2b² = 1.
Sinon, la preuve est correcte.
En plus, cela signifie que : (a+ib)-1 = a-ib
d'accord.
J'ai une autre question sur le même sujet.
Après avoir démontrer que N(x)=1x est inversible, j'ai montré que A =[i2]était un anneau euclidien.
Ensuite on pose I ={a+ib2; a2,b}
Je dois montrer que I est un idéal propre de A.
Pour montrer que I est un idéal je n'ai aucun problème. Mais comment montrer qu'il est propre.
Je sais qu'il faut que je montre que I
A et I
A.
Mais comment faire ?
1 est dans A, mais pas dans I, donc I strictement inclus dans A
2 est dans I, donc I est diffrent de {0}
D'accord !
Maintenant on considère f : A /2
a+ib2 a+2.
J'ai montrer que f était un morphisme d'anneau surjectif.
ker f = {x A ; f(x)=0}
ker f = {x A ; a+2=0}
ker f = {x A ; a2}
ker f = I
Donc j'en ai déduit par le théorème de factoriasation d'un morphisme que A/I et /2 étaient isomorphes.
On me demande ensuite : L'idé
Z/2Z est un corps car 2 est premier donc A/I est un corps
Donc I est maaximal .
Z/2Z n'est pas intègre donc A/I n'est pas intègre donc I n'est pas premier.
Est ce juste ?
Merci beaucoup !
Si A = {x
;
a,b,b impair, x=a/b}.
j'ai montré que :
- A était un sous anneau de
- les éléments inversibles de A étaient : {y;a,b , a et b impairs}
Soit I=(2) l'idéal de A engendré par 2.
- J'ai montré que tout idé
J'ai montré que tout idéal propre de a est contunu dans I.
Comment faire pour en déduire que I est l'unique idéal maximal de A ?
Bin c'est trivial en utilisant ce que tu viens de montrer et en utilisant la définition de maximalité, non ?
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