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inversion d'une matrice 2*2 dans Z^2
Bonjour, je cherche depuis hier la solution à ce problème de math sup:
"On se donne 4 entiers relatifs a; b; c; d et l'on note f l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice
a b
c d
Montrer que f(Z[/sup])
Z[sup] et que, si f(Z[/sup]) = Z[sup] alors A est inversible et que les coefficients de A^-1 sont des entiers relatifs.
Montrer que dans ce dernier cas, on a det(A) = +/- 1."
la première question est triviale. La princiale difficulté est de montrer que A est inversible, le reste s'en suit.
J'ai trouvé un méthode pour montrer que A est inversible, en passant par l'arithmétique:
f est clairement surjective. reste à montrer que f est injective.
d'abord on montre que a et b sont premiers entre eux, ainsi que c et d.
ensuite on montre que a et c sont premiers entre eux, ainsi que b et d.
Pour tout ca, on utilise le théorème de Bézout.
Alors on arrive à montrer que A est inversible.
Tout cela me semble bien compliqué, je me demande s'il y a une autre façon de raisonner. Merci d'avance pour votre aide.
petit problème de frappe...
Montrer que f(Z^2) Z^2 et que, si f(Z^2) = Z^2 alors A est inversible et que les coefficients de A^-1 sont des entiers relatifs.
Bonjour,
si , l'image de
contient deux vecteurs non colinéaires donc f est de rang 2 et elle est bijective.
Pour démontrer que est à coefficient dans
je ne vois pas d'autre méthode que celle que tu as esquissée.
Bonjour,
Pour tout (x',y') il existe (x,y) tel que f(x,y)=(x',y').
En résolvant le système on obtient (ad-bc)x=dx'-by' et (ad-bc)y'=ay'-cx'.
En choisissant (x',y')=(1,0) et (x',y')=(0,1) on a d'abord ad-bc non nul (sinon a=b=c=d=0), puis ad-bc divise a,b,c,d.
Par suite, est à coefficients dans
et est l'inverse de A
Merci à tous les 2 pour votre réponse.
Verdurin, je ne pense pas que ta solution soit juste, f(Z2) = Z2 permet seulement de dire que f est surjective, or Z2 n'est pas un espace vectoriel, donc le rang de f ne permet pas de conclure que f est injective.
Jandri, ta réponse est convaicante, et plus rapide que la mienne! Merci!
A bientot!...
Bonjour, une autre methode plus arithmétique,
f(Z²) est un sous groupe de Z², comme le determinant est la multiplication par le volume, le volume de la maille élémentaire de f(Z²) (abstraitement isomorphe a Z² vu que f est inversible) vaut det(f), donc l'indice de f(Z²) dans Z² vaut det(f).
...
Bonsoir lasducompas,
je crois que tu n'as pas bien compris ma réponse précédente, qui est juste.
Pour la justifier :
À la matrice on fait correspondre canoniquement l'endomorphisme
qui est une application linéaire de
dans
.
En appliquant le théorème du rang il est immédiat que surjective entraine
injective car
Bonsoir,
La méthode proposée par Rodrigo a l'avantage de se généraliser aisément à une matrice carrée d'ordre n.
Une propriété du déterminant est:
, B désignant la base canonique.
Puisque f(n)=n on peut choisir dans
n tels que et par suite det(A)=det(f) divise 1 et vaut donc
1.
Je détaille pour faciliter la compréhension en math sup
Puisque on peut choisir
dans
tels que
matriciellement si l'on met en colonne dans une matrice B les cela
donne AB=Id
donc det(A)det(B)=1 calcul a priori dans
mais si on y reflechit bien le calcul du det d'une matrice se fait par + et x (pas de division)
donc si la matrice est à coeff entiers le det est un entier
donc dans on a det (A) inversible
pour n=2 c'est encore plus facile à écrire on peut mettre 4 lettres pour les coeffs des
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